《2025年赢在微点数学》

[变式训练]　（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C + c cos B = a sin A，则△ABC的形状为（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定

答案： A　解析　因为$b\cos C + c\cos B = a\sin A$，所以$\sin B\cos C+\sin C\cos B=\sin^{2}A$，即$\sin(B + C)=\sin^{2}A$，所以$\sin A=\sin^{2}A$，又$0\lt A\lt\pi$。故$\sin A = 1$，即$A=\frac{\pi}{2}$，因此$\triangle ABC$是直角三角形。故选A。

（2）在△ABC中，$\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{a}{c}$，(b + c + a)(b + c - a) = 3bc，则△ABC的形状为________。

答案： 等边三角形　解析　因为$\frac{\sin A}{b}=\frac{a}{c}$，所以$\frac{a}{b}=\frac{a}{c}$，所以$b = c$。又$(b + c + a)(b + c - a)=3bc$，所以$b^{2}+c^{2}-a^{2}=bc$，所以$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$。因为$A\in(0,\pi)$，所以$A=\frac{\pi}{3}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形。

[例3]　（2023·全国乙卷）在△ABC中，已知∠BAC = 120°，AB = 2，AC = 1。
（1）求sin∠ABC；
（2）若D为BC上一点，且∠BAD = 90°，求△ADC的面积。

答案： 解　
(1)由余弦定理，可得$BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2AC\cdot AB\cos A = 1 + 4 - 2\times1\times2\times\cos120^{\circ}=7$，则$BC=\sqrt{7}$，$\cos B=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2BC\cdot AB}=\frac{7 + 4 - 1}{2\times2\times\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$，$\sin B=\sqrt{1-\cos^{2}B}=\sqrt{1-\frac{25}{28}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$。
(2)由三角形面积公式可得$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}\times AB\times AD\times\sin90^{\circ}}{\frac{1}{2}\times AC\times AD\times\sin30^{\circ}} = 4$，则$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{5}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{5}\times(\frac{1}{2}\times2\times1\times\sin120^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{10}$。

[变式训练]　（2024·广州市调研）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c = 2b，2sin A = 3sin 2∠ACB。
（1）求sin∠ACB；
（2）若△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，求AB边上的中线CD的长。

答案： 解　
(1)由$2\sin A = 3\sin2\angle ACB$，得$2\sin A = 3\times2\sin\angle ACB\cos\angle ACB$，即$\sin A = 3\sin\angle ACB\cos\angle ACB$，由正弦定理和余弦定理得$a = 3c\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，又$c = 2b$，所以$a=\frac{3\sqrt{2}}{2}b$。所以$\cos\angle ACB=\frac{\sin A}{3\sin\angle ACB}=\frac{a}{3c}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}b}{6b}=\frac{\sqrt{2}}{4}$（或$\cos\angle ACB=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{\frac{3}{2}b^{2}}{3\sqrt{2}b^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$），又$\angle ACB\in(0,\pi)$，所以$\sin\angle ACB=\sqrt{1-\cos^{2}\angle ACB}=\frac{\sqrt{14}}{4}$。
(2)因为$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab\sin\angle ACB=\frac{3\sqrt{7}}{2}$，所以$ab = 6\sqrt{2}$。又$a=\frac{3\sqrt{2}}{2}b$，$c = 2b$，所以$b = 2$，$c = 4$，$a = 3\sqrt{2}$。
解法一：$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{1}{8}$，又$AD=\frac{1}{2}AB = 2$，所以在$\triangle ACD$中，$CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2AC\cdot AD\cdot\cos A = 7$，所以$CD=\sqrt{7}$。
解法二：因为$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$，所以$CD^{2}=\overrightarrow{CD}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{CA}^{2}+2\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CB}^{2})=\frac{1}{4}[2^{2}+2\times2\times3\sqrt{2}\cos\angle ACB+(3\sqrt{2})^{2}]=7$，所以$CD=\sqrt{7}$。