《2025年赢在微点数学》

[例3]　　已知$F(\sqrt{3},0)$是椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的一个焦点，点$M(\sqrt{3},\frac{1}{2})$在椭圆$C$上。
　(1)求椭圆$C$的方程；
　(2)若直线$l$与椭圆$C$相交于$A,B$两点，且$k_{OA}+k_{OB}=-\frac{1}{2}$（$O$为坐标原点），求直线$l$的斜率的取值范围。

答案： 解　
(1)由题意知，椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左焦点为$(-\sqrt{3},0)$，根据椭圆的定义，可得点$M$到两焦点的距离之和为$\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{3})^{2}+(\frac{1}{2}-0)^{2}}+\frac{1}{2}=4$，即$2a = 4$，所以$a = 2$，又因为$c=\sqrt{3}$，可得$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=1$，所以椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$。
(2)当直线$l$的斜率不存在或斜率为$0$时，结合椭圆的对称性可知，$k_{OA}+k_{OB}\neq0$，不符合题意。故设直线$l$的方程为$y = kx + m(k\neq0)$，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，联立方程组$\begin{cases}y = kx + m\\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\end{cases}$，可得$(4k^{2}+1)x^{2}+8kmx + 4(m^{2}-1)=0$，则$x_{1}+x_{2}=\frac{-8km}{4k^{2}+1}$，$x_{1}x_{2}=\frac{4(m^{2}-1)}{4k^{2}+1}$，所以$k_{OA}+k_{OB}=\frac{y_{1}}{x_{1}}+\frac{y_{2}}{x_{2}}=\frac{(kx_{1}+m)x_{2}+(kx_{2}+m)x_{1}}{x_{1}x_{2}}=2k+\frac{m(x_{1}+x_{2})}{x_{1}x_{2}}=2k+\frac{-8km^{2}}{4(m^{2}-1)}=\frac{-2k}{m^{2}-1}$，由$k_{OA}+k_{OB}=-\frac{1}{2}$，可得$m^{2}=4k + 1$，所以$k\geqslant-\frac{1}{4}$，又由$\Delta＞0$，可得$16(4k^{2}-m^{2}+1)＞0$，所以$4k^{2}-4k＞0$，解得$k＜0$或$k＞1$。综上可得，直线$l$的斜率的取值范围是$[-\frac{1}{4},0)\cup(1,+\infty)$。

[变式训练]　已知椭圆$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的焦距为$2$，左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，过点$F_{1}$的直线$l$（不与$x$轴重合）交椭圆于$A,B$两点。
　(1)若点$A$恰好为椭圆的上顶点，且$|AB| = \frac{5}{2}|F_{1}B|$，求椭圆$E$的标准方程；
　(2)若点$A$关于点$F_{2}$的对称点为点$C$，且点$C$恰好在椭圆上，求点$B$的横坐标的取值范围。

答案： 解　
(1)由题意，得$F_{1}(-1,0)$，$A(0,b)$，设$B(x_{0},y_{0})$，由$|AB|=\frac{5}{2}|F_{1}B|$可得$\overrightarrow{AF_{1}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{F_{1}B}$，于是得$(-1,-b)=\frac{3}{2}(x_{0}+1,y_{0})$，所以$\begin{cases}-1=\frac{3}{2}x_{0}+\frac{3}{2}\\-b=\frac{3}{2}y_{0}\end{cases}$，得$\begin{cases}x_{0}=-\frac{5}{3}\\y_{0}=-\frac{2}{3}b\end{cases}$。因为点$B$在椭圆上，所以$\frac{25}{9a^{2}}+\frac{4b^{2}}{9b^{2}}=1$，得$a^{2}=5$，所以$b^{2}=5 - 1 = 4$，故椭圆$E$的标准方程为$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$。
(2)由题意及椭圆的对称性，得$AC$为椭圆的通径。不妨设点$A(1,y_{1})(y_{1}＞0)$，点$B(x_{B},y_{B})$，将点$A$的坐标代入$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，得$\frac{1}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$，得$y_{1}=\frac{b^{2}}{a}$，于是直线$l$的斜率为$\frac{\frac{b^{2}}{a}-0}{1-(-1)}=\frac{b^{2}}{2a}$，直线$l$的方程为$y=\frac{b^{2}}{2a}(x + 1)$。联立方程，得$\begin{cases}y=\frac{b^{2}}{2a}(x + 1)\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}$，消去$y$，整理得$(a^{2}+3)x^{2}+2(a^{2}-1)x-3a^{2}-1=0$，由根与系数的关系，得$1\cdot x_{B}=-\frac{3a^{2}+1}{a^{2}+3}$，于是$x_{B}=-\frac{3a^{2}+1}{a^{2}+3}$。设$a^{2}=t(t＞1)$，则$x_{B}=-\frac{3t + 1}{t + 3}=-3+\frac{8}{t + 3}$，令$f(t)=-3+\frac{8}{t + 3}(t＞1)$，则$f(t)$在$(1,+\infty)$上单调递减，所以当$t＞1$时，$x_{B}=-3+\frac{8}{t + 3}$的取值范围为$(-3,-1)$，即点$B$的横坐标的取值范围是$(-3,-1)$。