《2025年赢在微点数学》

【典例】 “生命在于运动”，在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，某学校会打乒乓球的教师人数为 30，会打羽毛球的教师人数为 60，会打篮球的教师人数为 20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为 80，且三个体育项目都会的教师人数为 5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为               。

答案： 20        【解析】 设$A = \{x|x$是会打乒乓球的教师$\}$，$B = \{x|x$是会打羽毛球的教师$\}$，$C = \{x|x$是会打篮球的教师$\}$，根据题意得到$card(A)=30$，$card(B)=60$，$card(C)=20$，$card(A \cup B \cup C)=80$，$card(A \cap B \cap C)=5$，由三元容斥原理$card(A \cup B \cup C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A \cap B)-card(B \cap C)-card(C \cap A)+card(A \cap B \cap C)$，得$card(A \cap B)+card(B \cap C)+card(C \cap A)=35$，而$card(A \cap B)+card(B \cap C)+card(C \cap A)$中把$A \cap B \cap C$的区域计算了 3 次，于是要减掉这 3 次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数。因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为$35 - 3×5 = 20$。

【训练】 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数占该校学生总人数的比例是 （ ）
A. 62％
B. 56％
C. 46％
D. 42％

答案： C 【训练】C 解析：设该中学的学生总人数为$m$，喜欢足球的学生组成集合$A$，喜欢游泳的学生组成集合$B$，则$\text{card}(A) = 60\%m$，$\text{card}(B)=82\%m$，$\text{card}(A\cup B)=96\%m$，所以$\text{card}(A\cap B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cup B)=46\%m$。故选 C。

1. 充分条件与必要条件
（1）命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以______的陈述句叫做命题。判断为真的语句是______，判断为假的语句是______。
（2）充分条件与必要条件
①若__________，则 p 是 q 的充分不必要条件。
②若__________，则 p 是 q 的必要不充分条件。
③若__________，则 p 是 q 的充要条件。
④若__________，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件。

答案： 判断真假   真命题   假命题
@@p→q且q→pq→p且p⇏qp→q且q⇏pp⇏q且q⇏p

（2）(多选题)若$\frac{c^3}{a}＜\frac{c^3}{b}＜0$，则 （ ）
A. $|a|＜|b|$ B. $ac＜bc$
C. $\frac{a - b}{c}＞0$ D. $0＜\frac{a}{b}＜1$

答案： ACD