《2025年赢在微点数学》

（2）（2023·云南省第二次统考）设$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}+(a - 1)x + a + 2 = 0$的两个根。若$-1 ＜ x_{1} ＜ 1,1 ＜ x_{2} ＜ 2$，则实数$a$的取值范围是 （）

答案： A

【例3】 已知二次函数$f(x)=ax^{2}-x + 2a - 1$。
（1）若$f(x)$在区间$[1,2]$上单调递减，求$a$的取值范围；
（2）若$a ＞ 0$，设函数$f(x)$在区间$[1,2]$上的最小值为$g(a)$，求$g(a)$的表达式。

答案： $(-\infty,0)\cup(0,\frac{1}{4}]$$\begin{cases}6a - 3,a\in(0,\frac{1}{4})\\2a-\frac{1}{4a}-1,a\in[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\\3a - 2,a\in(\frac{1}{2},+\infty)\end{cases}$

【变式训练】（1）函数$f(x)=x^{2}-6|x| + 8$的单调递减区间是 。
（2）设函数$f(x)=-3x^{2}+6x$在区间$[a,b]$上的取值范围是$[-9,3]$，则$b - a$的取值范围是 。
（3）已知函数$f(x)=x^{2}+ax + 1$，若$a ＞ -2$，求函数$y = |f(x)|$在$[0,1]$上的最大值。

答案： $(-\infty,-3]$和$[0,3]$@@$[2,4]$@@$\begin{cases}1,-2＜a＜-1\\a + 2,-1\leqslant a＜0\end{cases}$@@$\begin{cases}1,-2＜a＜-1\\a + 2,a\geqslant-1\end{cases}$

1. 根式
（1）如果$x^{n}=a$，那么________叫做$a$的$n$次方根。
（2）式子$\sqrt[n]{a}$叫做________，其中$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数。
（3）$\sqrt[n]{a^{n}}=\begin{cases}a(n为奇数)\\|a|=\begin{cases}a,a\geqslant0\\ -a,a＜0\end{cases}(n为偶数)\end{cases}$。

答案： $x$
@@根式

2. 分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义是$a^{\frac{m}{n}}=$______$(a ＞ 0,m,n\in\mathbf{N}^{*},n ＞ 1)$。
正数的负分数指数幂的意义是$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}(a ＞ 0,m,n\in\mathbf{N}^{*},n ＞ 1)$。
0 的正分数指数幂等于________，0 的负分数指数幂没有意义。

答案： $\sqrt[n]{a^{m}}$
@@0

4. 指数函数及其性质
（1）概念：函数$y = a^{x}(a ＞ 0$，且$a\neq1)$叫做指数函数，其中指数$x$是自变量，定义域是$\mathbf{R}$，$a$是底数。
（2）指数函数的图象与性质

答案： $(0, +\infty)$
$(0, +\infty)$
$(0,1)$
$(0,1)$
$y ＞ 1$
$0 ＜ y ＜ 1$
$0 ＜ y ＜ 1$
$y ＞ 1$
增函数
减函数