《2025年赢在微点数学》

1. 函数的奇偶性

答案： f(-x)=f(x) y轴 f(-x)= -f(x) 原点

2. 周期性
（1）周期函数：一般地，设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果存在一个非零常数$T$，使得对每一个$x\in D$都有$x + T\in D$，且               那么函数$f(x)$就叫做周期函数。非零常数$T$叫做这个函数的周期。
（2）最小正周期：如果在周期函数$f(x)$的所有周期中存在一个           的正数，那么这个      就叫做$f(x)$的最小正周期。

答案： f(x + T)=f(x)最小 最小正数

1.（多选题）给出下列函数，其中是奇函数的为（ ）
A. $f(x)=x^{4}$
B. $f(x)=x^{5}$
C. $f(x)=x+\frac{1}{x}$
D. $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$

答案： BC 解析：对于 $f(x)=x^{4}$，$f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，由 $f(-x)=(-x)^{4}=x^{4}=f(x)$，可知 $f(x)=x^{4}$ 是偶函数，同理可知 $f(x)=x^{5}$，$f(x)=x+\frac{1}{x}$ 是奇函数，$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ 是偶函数。故选 BC。

2. 若偶函数$f(x)$在区间$[-2,-1]$上单调递减，则函数$f(x)$在区间$[1,2]$上（ ）
A. 单调递增，且有最小值$f(1)$
B. 单调递增，且有最大值$f(1)$
C. 单调递减，且有最小值$f(2)$
D. 单调递减，且有最大值$f(2)$

答案： A 解析：偶函数 $f(x)$ 在区间 $[-2,-1]$ 上单调递减，则由偶函数的图象关于 $y$ 轴对称，知 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递增，即有最小值为 $f(1)$，最大值为 $f(2)$。故选 A。

3.（教材改编）已知函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，当$x\geqslant0$时，$f(x)=x(1 + x)$，则$f(-1)=$_______。

答案： -2 解析：$f(1)=1\times2 = 2$，又 $f(x)$ 为奇函数，所以 $f(-1)=-f(1)= -2$。

4. 已知函数$f(x)$满足$f(x + 3)=f(x)$。当$x\in[0,2]$时，$f(x)=x^{2}+4$，则$f(2024)=$_______。

答案： 8 解析：因为 $f(x + 3)=f(x)$，所以 $f(x)$ 是以 $3$ 为周期的周期函数，所以 $f(2024)=f(674\times3 + 2)=f(2)=2^{2}+4 = 8$。