《2025年赢在微点数学》

3. 已知{aₙ}是等比数列，且aₙ＞0，a₂a₄ + 2a₃a₅ + a₄a₆ = 25，那么a₃ + a₅的值为 （ ）
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20

答案： A 解析 根据等比数列的性质，得$a_{2}a_{4}=a_{3}^{2}$，$a_{4}a_{6}=a_{5}^{2}$，所以$a_{2}a_{4}+2a_{3}a_{5}+a_{4}a_{6}=a_{3}^{2}+2a_{3}a_{5}+a_{5}^{2}=(a_{3}+a_{5})^{2}$。而$a_{2}a_{4}+2a_{3}a_{5}+a_{4}a_{6}=25$，所以$(a_{3}+a_{5})^{2}=25$，因为$a_{n}＞0$，所以$a_{3}+a_{5}=5$。故选 A。

4. 已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为____。

答案： 1，3，9 或 9，3，1 解析 设这三个数为$\frac{a}{q}$，a，aq，则$\begin{cases}a+\frac{a}{q}+aq = 13\\a\cdot\frac{a}{q}\cdot aq = 27\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\q=\frac{1}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}a = 3\\q = 3\end{cases}$，所以这三个数为 1，3，9 或 9，3，1。

5. 已知等比数列的首项为 -1，前n项和为Sₙ，若(S₁₀ - S₅)/S₅ = 1/32，则q的值为____。

答案： $\frac{1}{2}$ 解析 当$q = 1$时，$\frac{S_{10}-S_{5}}{S_{5}}=1\neq\frac{1}{32}$，所以$q\neq1$。当$q\neq1$时，$\frac{S_{10}-S_{5}}{S_{5}}=\frac{a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}=q^{5}=\frac{1}{32}$，所以$q=\frac{1}{2}$。

1.（2024·东北三省四市联合体）已知等比数列{aₙ}的公比为q（q＞0且q≠1），若a₆ + 8a₁ = a₄ + 8a₃，则q的值为 （ ）
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. 4

答案： 关键能力.突破
1.C解析　由$a_{6}+a_{8}=a_{4}+8a_{3}$，知$q^{5}-q^{3}=8(q^{2}-1)$，解得$q = 2$。故选C。

2.（2023·全国甲卷）设等比数列{aₙ}的各项均为正数，前n项和为Sₙ，若a₁ = 1，S₅ = 5S₃ - 4，则S₄ = （ ）
A. $\frac{15}{8}$
B. $\frac{65}{8}$
C. 15
D. 40

答案： 2.C　解析　设公比为$q$，由题知$1 + q + q^{2}+q^{3}+q^{4}=5(1 + q + q^{2})-4$，即$q^{3}+q^{4}=4q + 4q^{2}$，即$q^{3}+q^{2}-4q - 4 = 0$，即$(q - 2)(q + 1)(q + 2)=0$。由题知$q＞0$，所以$q = 2$。所以$S_{4}=1 + 2+4 + 8 = 15$。故选C。

3.设等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ。已知Sₙ₊₁ = 2Sₙ + $\frac{1}{2}$，n∈N*，则S₆ = （ ）
A. $\frac{31}{2}$
B. 16
C. 30
D. $\frac{63}{2}$

答案： 3.D　解析　解法一(特殊值法)：设数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，依题意，$S_{2}=2S_{1}+\frac{1}{2}$，$S_{3}=2S_{2}+\frac{1}{2}$，可得$a_{2}=a_{1}+\frac{1}{2}$，$a_{3}=a_{2}+a_{1}+\frac{1}{2}$，则$qa_{1}=a_{1}+\frac{1}{2}$，$q^{2}a_{1}=qa_{1}+a_{1}+\frac{1}{2}$，得$a_{1}=\frac{1}{2}$，$q = 2$，所以$S_{6}=\frac{\frac{1}{2}\times(1 - 2^{6})}{1 - 2}=\frac{63}{2}$。故选D。
解法二：设数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，当$n = 1$时，有$S_{2}=2S_{1}+\frac{1}{2}$，得$qa_{1}=a_{1}+\frac{1}{2}$，当$n\geq2$时，由$S_{n + 1}=2S_{n}+\frac{1}{2}$，可得$S_{n}=2S_{n - 1}+\frac{1}{2}$，两式相减，得$a_{n + 1}=2a_{n}$，所以$q = 2$，所以$a_{1}=\frac{1}{2}$，所以$S_{6}=\frac{\frac{1}{2}\times(1 - 2^{6})}{1 - 2}=\frac{63}{2}$。故选D。

4.（2023·全国甲卷）记Sₙ为等比数列{aₙ}的前n项和。若8S₆ = 7S₃，则{aₙ}的公比为________。

答案： 4.$-\frac{1}{2}$　解析　设公比为$q$。若$q = 1$，则由$8S_{6}=7S_{3}$得$8\times6a_{1}=7\times3a_{1}$，则$a_{1}=0$，不合题意。所以$q\neq1$。因为$8S_{6}=7S_{3}$，所以$8\cdot\frac{a_{1}(1 - q^{6})}{1 - q}=7\cdot\frac{a_{1}(1 - q^{3})}{1 - q}$，即$8\cdot(1 - q^{6})=7\cdot(1 - q^{3})$，即$8\cdot(1 + q^{3})(1 - q^{3})=7\cdot(1 - q^{3})$，即$8\cdot(1 + q^{3})=7$，解得$q=-\frac{1}{2}$。

【例1】　Sₙ为等比数列{aₙ}的前n项和，已知a₄ = 9a₂，S₃ = 13，且公比q＞0。
（1）求aₙ及Sₙ；
（2）是否存在常数λ，使得数列{Sₙ + λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。

答案： [例1]　解　
(1)易知$q\neq1$，由题意可得$\begin{cases}a_{1}q^{3}=9a_{1}q,\\\frac{a_{1}(1 - q^{3})}{1 - q}=13,\\q＞0,\end{cases}$解得$a_{1}=1$，$q = 3$，所以$a_{n}=3^{n - 1}$，$S_{n}=\frac{1 - 3^{n}}{1 - 3}=\frac{3^{n}-1}{2}$。
(2)假设存在常数$\lambda$，使得数列$\{ S_{n}+\lambda\}$是等比数列，因为$S_{1}+\lambda=\lambda + 1$，$S_{2}+\lambda=\lambda + 4$，$S_{3}+\lambda=\lambda + 13$，所以$(\lambda + 4)^{2}=(\lambda + 1)(\lambda + 13)$，解得$\lambda=\frac{1}{2}$，此时$S_{n}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\times3^{n}$，则$\frac{S_{n + 1}+\frac{1}{2}}{S_{n}+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}\times3^{n + 1}}{\frac{1}{2}\times3^{n}}=3$，故存在常数$\lambda=\frac{1}{2}$，使得数列$\{ S_{n}+\frac{1}{2}\}$是以$\frac{3}{2}$为首项，$3$为公比的等比数列。