《2025年赢在微点数学》

[变式训练]　(2024·福州市质量检测)如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形,M是线段EF的中点。
(1)求证:AM//平面BDE;
(2)若平面ADM∩平面BDE = l，平面ABM∩平面BDE = m,试分析l与m的位置关系，并证明你的结论。

答案：
证明:如图,记$AC$与$BD$的交点为$O$，连接$OE$。因为$O$，$M$分别为$AC$，$EF$的中点，四边形$ACEF$是矩形，所以四边形$AOEM$是平行四边形，所以$AM// OE$。又因为$OE\subset$平面$BDE$，$AM\not\subset$平面$BDE$，所以$AM//$平面$BDE$。　　　　　　　　　　　　　　　　　
@@$l// m$。证明如下:由
(1)知$AM//$平面$BDE$，又$AM\subset$平面$ADM$，平面$ADM\cap$平面$BDE = l$，所以$l// AM$，同理得$m// AM$，所以$l// m$。

[例3]　如图,四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形。
(1)证明:平面A₁BD//平面CD₁B₁;
(2)若平面ABCD∩平面B₁D₁C = l，证明:B₁D₁//l。

答案： 证明　
(1)由题设知$BB_1\equalparallel DD_1$，所以四边形$BB_1D_1D$是平行四边形，所以$BD// B_1D_1$。又$BD\not\subset$平面$CD_1B_1$，$B_1D_1\subset$平面$CD_1B_1$，所以$BD//$平面$CD_1B_1$。因为$A_1D_1\equalparallel B_1C_1\equalparallel BC$，所以四边形$A_1BCD_1$是平行四边形，所以$A_1B// D_1C$。又$A_1B\not\subset$平面$CD_1B_1$，$D_1C\subset$平面$CD_1B_1$，所以$A_1B//$平面$CD_1B_1$。又因为$BD\cap A_1B = B$，$BD$，$A_1B\subset$平面$A_1BD$，所以平面$A_1BD//$平面$CD_1B_1$。
(2)由
(1)知平面$A_1BD//$平面$CD_1B_1$，又平面$ABCD\cap$平面$B_1D_1C = l$，平面$ABCD\cap$平面$A_1BD = BD$，所以$l// BD$，在四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，四边形$BDD_1B_1$为平行四边形，所以$B_1D_1// BD$，所以$B_1D_1// l$。