《2025年赢在微点数学》

[例1]　已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$的左焦点为$F(-2,0)$，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$。
　(1)求椭圆$C$的标准方程；
　(2)设$O$为坐标原点，$T$为直线$x = - 3$上一点，过$F$作$TF$的垂线交椭圆于$P$，$Q$两点。当四边形$OPTQ$是平行四边形时，求四边形$OPTQ$的面积。

答案： 解　
(1)由已知可得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3},c = 2$，所以$a=\sqrt{6}$。又由$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，解得$b=\sqrt{2}$，所以椭圆$C$的标准方程是$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$。
(2)设$T$点的坐标为$(-3,m)$，则直线$TF$的斜率$k_{TF}=\frac{m - 0}{-3 - (-2)}=-m$。当$m\neq0$时，直线$PQ$的斜率$k_{PQ}=\frac{1}{m}$，直线$PQ$的方程是$x = my - 2$。当$m = 0$时，直线$PQ$的方程是$x=-2$，也符合$x = my - 2$的形式。设$P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})$，将直线$PQ$的方程与椭圆$C$的方程联立，得$\begin{cases}x = my - 2\\\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1\end{cases}$。消去$x$，得$(m^{2}+3)y^{2}-4my - 2 = 0$，其判别式$\Delta = 16m^{2}+8(m^{2}+3)＞0$。所以$y_{1}+y_{2}=\frac{4m}{m^{2}+3},y_{1}y_{2}=\frac{-2}{m^{2}+3}$，所以$x_{1}+x_{2}=m(y_{1}+y_{2})-4=\frac{-12}{m^{2}+3}$。因为四边形$OPTQ$是平行四边形，所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{QT}$，即$(x_{1},y_{1})=(-3 - x_{2},m - y_{2})$。所以$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=\frac{-12}{m^{2}+3}=-3\\y_{1}+y_{2}=\frac{4m}{m^{2}+3}=m\end{cases}$，解得$m=\pm1$。此时，四边形$OPTQ$的面积$S_{四边形OPTQ}=2S_{\triangle OPQ}=2\times\frac{1}{2}\cdot|OF|\cdot|y_{1}-y_{2}|=2\sqrt{(\frac{4m}{m^{2}+3})^{2}-4\cdot\frac{-2}{m^{2}+3}}=2\sqrt{3}$。

[变式训练]　　已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$过点$A(-2,-1)$，且$a = 2b$。
　(1)求椭圆$C$的方程；
　(2)过点$B(-4,0)$的直线$l$交椭圆$C$于点$M$，$N$，直线$MA$，$NA$分别交直线$x = - 4$于点$P$，$Q$，求$\frac{|PB|}{|BQ|}$的值。

答案： 解　
(1)由椭圆过点$A(-2,-1)$，得$\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1$。又$a = 2b$，所以$\frac{4}{4b^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1$，解得$b^{2}=2$，所以$a^{2}=4b^{2}=8$，所以椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$。
(2)当直线$l$的斜率不存在时，显然不合题意。设直线$l:y=k(x + 4)$，由$\begin{cases}y=k(x + 4)\\\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1\end{cases}$得$(4k^{2}+1)x^{2}+32k^{2}x+64k^{2}-8=0$。由$\Delta＞0$，得$-\frac{1}{2}＜k＜\frac{1}{2}$。设$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$，则$x_{1}+x_{2}=\frac{-32k^{2}}{4k^{2}+1},x_{1}x_{2}=\frac{64k^{2}-8}{4k^{2}+1}$。又因为直线$AM:y + 1=\frac{y_{1}+1}{x_{1}+2}(x + 2)$，令$x=-4$，得$y_{P}=\frac{-2(y_{1}+1)}{x_{1}+2}-1$。将$y_{1}=k(x_{1}+4)$代入，得$y_{P}=\frac{-(2k + 1)(x_{1}+4)}{x_{1}+2}$。同理$y_{Q}=\frac{-(2k + 1)(x_{2}+4)}{x_{2}+2}$。所以$y_{P}+y_{Q}=-(2k + 1)(\frac{x_{1}+4}{x_{1}+2}+\frac{x_{2}+4}{x_{2}+2})=-(2k + 1)\cdot\frac{2x_{1}x_{2}+6(x_{1}+x_{2})+16}{(x_{1}+2)(x_{2}+2)}=-(2k + 1)\cdot\frac{2(\frac{64k^{2}-8}{4k^{2}+1})+6\times(\frac{-32k^{2}}{4k^{2}+1})+16}{(x_{1}+2)(x_{2}+2)}=-(2k + 1)\cdot\frac{128k^{2}-16-192k^{2}+64k^{2}+16}{(4k^{2}+1)(x_{1}+2)(x_{2}+2)}=0$。所以$|PB|=|BQ|$，所以$\frac{|PB|}{|BQ|}=1$。