《2025年赢在微点数学》

(2)(2024·金华调研)定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x + 6)=f(x)$，当$-3\leqslant x＜ - 1$时，$f(x)=-(x + 2)^{2}$，当$-1\leqslant x＜3$时，$f(x)=x$，则$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(2 024)=$________。

答案： $340$

【变式训练】 (1)已知$f(x)$对于任意$x\in\mathbf{R}$都有$f(x + 2)=f(x)$，且$f(x)$在区间$[0,2)$上单调递增，则$f( - 6.5)$，$f( - 1)$，$f(0)$的大小关系是（ ）
A. $f( - 1)＜f(0)＜f( - 6.5)$
B. $f( - 6.5)＜f(0)＜f( - 1)$
C. $f( - 1)＜f( - 6.5)＜f(0)$
D. $f(0)＜f( - 1)＜f( - 6.5)$

答案： D

(2)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的函数，并且$f(x + 3)=-\frac{1}{f(x)}$，当$1＜x\leqslant 3$时，$f(x)=\cos\frac{\pi x}{3}$，则$f(2 024)=$________。

答案： $-\frac{1}{2}$

【典例1】 (1)(多选题)若定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$f(x)$的图象关于点$(2,0)$对称，则下列说法正确的是（ ）
A. $f(x)=f( - x)$
B. $f(2 + x)+f(2 - x)=0$
C. $f( - x)= - f(x + 4)$
D. $f(x + 2)=f(x - 2)$

答案： ABC

(2)已知函数$f(x)$满足$f(x)+f( - x)=2$，$g(x)=\frac{1}{x}+1$，$y = f(x)$与$y = g(x)$有$4$个交点，则这$4$个交点的纵坐标之和为________。

答案： $4$