《2025年赢在微点数学》

3. 点$A(2,5)$到直线$l:x - 2y + 3 = 0$的距离为（ ）
A. $2\sqrt{5}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： C 解析 由题意得$d=\frac{|2 - 10 + 3|}{\sqrt{1 + 4}}=\sqrt{5}$。故选C。

4. 点$P(2,5)$关于直线$x + y = 1$的对称点的坐标为______。

答案： $(-4,-1)$ 解析 设对称点的坐标为$(x_{0},y_{0})$，则$\begin{cases}\frac{y_{0}-5}{x_{0}-2}\cdot(-1)=-1\\\frac{x_{0}+2}{2}+\frac{y_{0}+5}{2}=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{0}=-4\\y_{0}=-1\end{cases}$，所以所求对称点的坐标为$(-4,-1)$。

5. 两条平行直线$3x + 4y - 12 = 0$与$ax + 8y + 11 = 0$之间的距离为______。

答案： $\frac{7}{2}$ 解析 由两条直线平行，得$\frac{3}{a}=\frac{4}{8}$，所以$a = 6$，所以直线$3x + 4y - 12 = 0$可化为$6x + 8y - 24 = 0$，则两条平行直线间的距离为$d=\frac{|-24 - 11|}{\sqrt{6^{2}+8^{2}}}=\frac{7}{2}$。

1. 已知$p$：直线$x + 2y - 1 = 0$与直线$a^{2}x + (a + 1)y - 1 = 0$平行，$q$：$a = 1$，则$p$是$q$的（ ）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： D 解析 当直线$x + 2y - 1 = 0$与直线$a^{2}x+(a + 1)y - 1 = 0$平行时，$\frac{a^{2}}{1}=\frac{a + 1}{2}\neq1$，解得$a = -\frac{1}{2}$，当$a = 1$时，直线$x + 2y - 1 = 0$与直线$a^{2}x+(a + 1)y - 1 = 0$重合，所以$p$是$q$的既不充分也不必要条件。故选D。

2. 若直线$l_{1}$：$(k - 3)x + (k + 4)y + 1 = 0$与$l_{2}$：$(k + 1)x + 2(k - 3)y + 3 = 0$垂直，则实数$k$的值是（ ）
A. 3或 - 3
B. 3或4
C. - 3或 - 1
D. - 1或4

答案： A 解析 因为直线$l_{1}:(k - 3)x+(k + 4)y + 1 = 0$与直线$l_{2}:(k + 1)x + 2(k - 3)y + 3 = 0$互相垂直，所以$(k - 3)\times(k + 1)+(k + 4)\times2(k - 3)=0$，即$k^{2}-9 = 0$，解得$k = 3$或$k = - 3$。故选A。

3. （多选题）已知直线$l_{1}$：$x + my - 1 = 0$，$l_{2}$：$(m - 2)x + 3y + 3 = 0$，则下列说法正确的是（ ）
A. 若$l_{1}// l_{2}$，则$m = - 1$或$m = 3$
B. 若$l_{1}// l_{2}$，则$m = 3$
C. 若$l_{1}\perp l_{2}$，则$m = -\frac{1}{2}$
D. 若$l_{1}\perp l_{2}$，则$m = \frac{1}{2}$

答案： BD 解析 若$l_{1}// l_{2}$，则$1\times3 - m(m - 2)=0$，解得$m = 3$或$m = - 1$，当$m = - 1$时，$l_{1}:x - y - 1 = 0$，$l_{2}:x - y - 1 = 0$，$l_{1}$与$l_{2}$重合，所以$m = - 1$（舍去），故$m = 3$，故B正确；若$l_{1}\perp l_{2}$，则$1\times(m - 2)+m\times3 = 0$，解得$m=\frac{1}{2}$，故C不正确，D正确。故选BD。

[例1]（1）已知直线$kx - y + 2k + 1 = 0$与直线$2x + y - 2 = 0$的交点在第一象限，则实数$k$的取值范围是（ ）
A. $(-\frac{3}{2}, - 1)$
B. $(-\infty, -\frac{3}{2})\cup(-1, +\infty)$
C. $(-1, +\infty)$
D. $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$

答案： D 解析 联立直线方程得$\begin{cases}kx - y + 2k + 1 = 0,\\2x + y - 2 = 0,\end{cases}$解得$x=\frac{1 - 2k}{2 + k}$，$y=\frac{2 + 6k}{2 + k}(k\neq - 2)$。因为直线$kx - y + 2k + 1 = 0$与直线$2x + y - 2 = 0$的交点在第一象限，所以$\frac{1 - 2k}{2 + k}＞0$，$\frac{2 + 6k}{2 + k}＞0$，解得$-\frac{1}{3}＜k＜\frac{1}{2}$。故选D。

（2）对于任意的实数$m$，直线$(m - 1)x + (2m - 1)y = m - 5$都通过一定点，则该定点的坐标为（ ）
A. $(9, - 4)$
B. $(-9, - 4)$
C. $(9, 4)$
D. $(-9, 4)$

答案： A 解析 $(m - 1)x+(2m - 1)y = m - 5$即为$m(x + 2y - 1)+(-x - y + 5)=0$，故此直线过直线$x + 2y - 1 = 0$和$-x - y + 5 = 0$的交点。由$\begin{cases}x + 2y - 1 = 0,\\-x - y + 5 = 0,\end{cases}$得定点的坐标为$(9,-4)$。故选A。

[变式训练]（1）方程$(a - 1)x - y + 2a + 1 = 0$（$a\in R$）所表示的直线恒过（ ）
A. 定点$(-2, 3)$
B. 定点$(2, 3)$
C. 点$(-2, 3)$和点$(2, 3)$
D. 点$(-2, 3)$和点$(3, 2)$

答案： A 解析 $(a - 1)x - y + 2a + 1 = 0$可化为$-x - y + 1+a(x + 2)=0$，由$\begin{cases}-x - y + 1 = 0,\\x + 2 = 0,\end{cases}$得$\begin{cases}x = - 2,\\y = 3。\end{cases}$故直线恒过定点$(-2,3)$。故选A。