《2025年赢在微点数学》

(2)(2023.新高考I卷)已知函数$f(x)=\cos\omega x - 1(\omega＞0)$在区间$[0,2\pi]$有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________。

答案： [2, 3)解析因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)=cosωx - 1 = 0，则cosωx = 1有3个根，令t = ωx，则cos t = 1有3个根，其中t∈[0, 2ωπ]，结合余弦函数y = cos t的图象性质可得4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3。

[变式训练]　(多选题)(2024.济南市学情检测)已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})(\omega＞0)$满足$f(x)\leq f(\frac{2\pi}{3})$恒成立,且在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递增,则下列说法正确的是　　　　　(　　　)
A. $\omega = \frac{1}{2}$
B. $f(x+\frac{2\pi}{3})$为偶函数
C. 若$x\in[0,\pi]$，则$f(x)\in[\frac{\sqrt{3}}{2},1]$
D. 将$f(x)$图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,可以得到$g(x)=\sin(x+\frac{\pi}{6})$的图象

答案： AB解析若x∈(0,$\frac{\pi}{2}$)，且ω＞0，则ωx + $\frac{\pi}{6}$∈($\frac{\pi}{6}$,$\frac{\omega\pi}{2}$ + $\frac{\pi}{6}$)，因为f(x)=sin(ωx + $\frac{\pi}{6}$)(ω＞0)在区间(0,$\frac{\pi}{2}$)上单调递增，所以$\frac{\omega\pi}{2}$ + $\frac{\pi}{6}$≤$\frac{\pi}{2}$，所以0＜ω≤$\frac{2}{3}$。因为f(x)≤f($\frac{2\pi}{3}$)恒成立，所以$\frac{2\pi}{3}$ω + $\frac{\pi}{6}$ = 2kπ + $\frac{\pi}{2}$，k∈Z，解得ω = 3k + $\frac{1}{2}$，k∈Z，又0＜ω≤$\frac{2}{3}$，所以ω = $\frac{1}{2}$，选项A正确。f(x)=sin($\frac{1}{2}$x + $\frac{\pi}{6}$)，所以f(x + $\frac{2\pi}{3}$)=sin[$\frac{1}{2}$(x + $\frac{2\pi}{3}$)+$\frac{\pi}{6}$]=sin($\frac{1}{2}$x + $\frac{\pi}{2}$)=cos$\frac{1}{2}$x，所以f(x + $\frac{2\pi}{3}$)为偶函数，选项B正确。当x∈[0, π]时，$\frac{1}{2}$x + $\frac{\pi}{6}$∈[$\frac{\pi}{6}$,$\frac{2\pi}{3}$]，所以sin($\frac{1}{2}$x + $\frac{\pi}{6}$)∈[$\frac{1}{2}$, 1]，所以选项C错误。将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可得函数y = sin($\frac{1}{4}$x + $\frac{\pi}{6}$)的图象，所以选项D错误。综上，故选AB。

【典例1】 已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})(\omega＞0)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A. $(0,\frac{8}{3}]$ B. $(0,\frac{1}{2}]$
C. $[\frac{1}{2},\frac{8}{3}]$ D. $[\frac{3}{8},2]$

答案： B

【训练1】 已知函数$f(x)=\sin\omega x+\cos\omega x(\omega＞0)$在$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{8}]$上单调递增，则ω的一个取值为________。

答案： 1(答案不唯一)解析 $f(x)=\sin\omega x+\cos\omega x=\sqrt{2}\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$，当 $x\in[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{8}]$ 时，$\omega x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4}-\frac{\omega\pi}{4},\frac{\pi}{4}+\frac{\omega\pi}{8}]$。因为函数 $f(x)$ 在 $[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{8}]$ 上单调递增，所以 $\begin{cases}\frac{\pi}{4}-\frac{\omega\pi}{4}\geqslant-\frac{\pi}{2}\\\frac{\pi}{4}+\frac{\omega\pi}{8}\leqslant\frac{\pi}{2}\\\omega＞0\end{cases}$，解得 $0＜\omega\leqslant2$，所以可取 $\omega = 1$（答案不唯一，$(0,2]$ 中任意一个数均可）。