《2025年赢在微点数学》

【例1】（1）已知集合$A = \{ x\mid y = \ln(x - 2)\}$，$B = \{ x\mid x\geqslant - 3\}$，则下列结论正确的是（ ）
A. $A = B$ B. $A\cap B = \varnothing$
C. $A\subsetneqq B$ D. $B\subseteq A$

答案： C解析：由题设，可得$A = \{x|x\gt2\}$，又$B = \{x|x\geq - 3\}$，所以$A$是$B$的真子集，故选C

（2）（2024·南京市、盐城市模拟）设集合$M =$
$\{ x\mid x = \frac{k}{2},k\in\mathbf{Z}\},N = \{ x\mid x = k+\frac{1}{2},k\in\mathbf{Z}\}$，
则 （ ）
A. $M\supsetneqq N$ B. $N\supsetneqq M$
C. $M = N$ D. $M\cap N = \varnothing$

答案： B 解析：因为$0\in M$，$0\notin N$，所以A，C不正确；因为$\frac{1}{2}\in M$，$\frac{1}{2}\in N$，所以D不正确。故选B

（3）设集合$A = \{ x\mid - 1\leqslant x + 1\leqslant 2\},B = \{ x\mid$
$m - 1\leqslant x\leqslant 2m + 1\}$，当$x\in\mathbf{Z}$时，集合$A$的真子集有 个；当$B\subseteq A$时，实数$m$的取值范围是 。

答案： 15  $(-\infty,-2)\cup[-1,0]$ 解析：$A = \{x|-2\leq x\leq1\}$，若$x\in Z$，则$A = \{-2,-1,0,1\}$，故集合$A$的真子集个数为$2^4 - 1 = 15$。由$B\subseteq A$，得①若$B = \varnothing$，则$2m + 1\lt m - 1$，即$m\lt - 2$；②若$B\neq\varnothing$，则$\begin{cases}2m + 1\geq m - 1\\2m + 1\leq1\\m - 1\geq - 2\end{cases}$，解得$-1\leq m\leq0$。综上，实数$m$的取值范围是$(-\infty,-2)\cup[-1,0]$。

【变式训练】（1）（多选题）已知非空集合$M$满足：①$M\subseteq\{ - 2,-1,1,2,3,4\}$，②若$x\in M$，则$x^{2}\in M$。则集合$M$可能是 （ ）
    A. $\{ - 1,1\}$ B. $\{ - 1,1,2,4\}$
       C. $\{ 1\}$       D. $\{ 1,-2,2\}$

答案： AC

（2）函数$f(x)=\sqrt{x^{2}-2x - 3}$的定义域为$A$，集合$B = \{ x\mid - a\leqslant x\leqslant 4 - a\}$，若$B\subseteq A$，则实数$a$的取值范围是                       。

答案： $(-\infty,-3]\cup[5,+\infty)$

【例2】（1）（2023·天津卷）已知集合$U = \{ 1,$$2,3,4,5\},A = \{ 1,3\},B = \{ 1,2,4\}$，则$A\cup$$(\complement_{U}B)=$ （ ）
A. $\{ 1,3,5\}$ B. $\{ 1,3\}$
C. $\{ 1,2,4\}$ D. $\{ 1,2,4,5\}$

答案： A

（2）（2023·全国乙卷）设集合$U = \mathbf{R}$，集合
$M = \{ x\mid x＜1\},N = \{ x\mid - 1＜x＜2\}$，则$\{ x\mid$
$x\geqslant 2\} =$ （ ）
A. $\complement_{U}(M\cup N)$ B. $N\cup(\complement_{U}M)$
C. $\complement_{U}(M\cap N)$ D. $M\cup(\complement_{U}N)$

答案： A

【例3】（2024·盐城模拟）已知集合$A =$
$\{ x\mid\frac{x - 1}{x - a}＜0\}$，若$A\cap\mathbf{N}^{*}=\varnothing$，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $\{ 1\}$
B. $(-\infty,1)$
C. $[1,2]$
D. $(-\infty,2]$

答案： D