《2025年赢在微点数学》

【变式训练】　(1)观察下列各图，并阅读图形下面的文字。像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ）

A.40　　
　B.45　　
　C.50　　
　D.55

答案： B　解析　最多交点个数的规律是：$1,1 + 2,1+2 + 3,\cdots,1 + 2+3+\cdots+n,\cdots$。所以10条直线交点个数最多是：$1+2+\cdots+9 = 45$。故选B。

(2)已知数列{aₙ}满足aₙ = $\frac{1}{n}$。
　(ⅰ)能否从数列{aₙ}中抽取四项，使之成等比数列或等差数列？若能，请举例说明；若不能，请说明理由；
　(ⅱ)证明：2(a₁² + a₂² + … + aₙ²)＜a₁ + a₂ + … + a₆₄。

答案： 解　(ⅰ)能，举例：$1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}$成公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{12}$成公差为$-\frac{1}{12}$的等差数列。
(ⅱ)证明：因为$\frac{1}{n^{2}}\lt\frac{1}{n(n - 1)}=\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n}(n\gt1)$，所以$2(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2})\lt2[1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n})]=2(2-\frac{1}{n})\lt4$，$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{64}=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\cdots+(\frac{1}{33}+\frac{1}{34}+\cdots+\frac{1}{64})\gt1+\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{4}+4\times\frac{1}{8}+8\times\frac{1}{16}+16\times\frac{1}{32}+32\times\frac{1}{64}=4$，所以$2(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2})\lt a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{64}$。

[例1]　（多选题）（2023·辽宁大连二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了类似如图所示的图形，后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的“三角垛”。“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设第n层有$a_{n}$个球，从上往下n层球的总数为$S_{n}$，则下列所有说法中正确的有（ ）

A. $a_{n}-a_{n - 1}=n + 1(n\geqslant2)$
B. $a_{2025}=2025\times1013$
C. $S_{7}=84$
D. $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{2025}}=\frac{2025}{1013}$

答案： BCD