《2025年赢在微点数学》

【典例1】在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石。简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数$f(x)$，存在点$x_0$，使得$f(x_0)=x_0$，那么我们称该函数为“不动点”函数。若函数$f(x)=x(ae^x - \ln x)$为“不动点”函数，则实数$a$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,0]$
B. $(-\infty,\frac{1}{e}]$
C. $(-\infty,1]$
D. $(-\infty,e]$

答案： B

【训练1】对于定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$，如果存在实数$x_0$使$f(x_0)=x_0$，那么$x_0$叫做函数$f(x)$的一个不动点。若函数$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x},x＜0\\(\frac{1}{2})^x - m,x\geq0\end{cases}$存在两个不动点，则实数$m$的取值范围是（ ）
A. $[0,1]$
B. $[-1,0]$
C. $(-\infty,1]$
D. $[-1,+\infty)$

答案：
C　解析　要使函数$f(x)$存在两个不动点，只需直线$y = x$与函数$f(x)$的图象有两个不同的交点即可。当$x ＜ 0$时，显然$y=\frac{1}{x}$与$y = x$的图象有一个交点；当$x\geqslant0$时，需使$y = (\frac{1}{2})^{x}-m$与$y = x$的图象有且只有一个交点，如示意图，则需$y = (\frac{1}{2})^{x}$的图象最多向下平移1个单位长度，向上则可以任意平移，所以$-m\geqslant - 1$，即$m\leqslant1$。故选C。

【典例2】设函数$y = f(x)$的不动点集合为$A$，稳定点集合为$B$，求证：
(1)$A\subseteq B$；
(2)若函数$f(x)$单调递增，则$A = B$。

答案：
(1)不妨设$x_0\in A$，则由题知$f(x_0)=x_0$，则$f(f(x_0))=f(x_0)=x_0$，故$x_0\in B$，所以$A\subseteq B$。
(2)设$t\in B$，则$f(f(t))=t$，因为函数$f(x)$单调递增，所以存在唯一$a$，使$f(t)=a$，$f(a)=t$，若$a＜t$，则$f(a)＜f(t)$，得到$t＜a$，与$a＜t$矛盾；若$a＞t$，则$f(a)＞f(t)$，得到$t＞a$，与$a＞t$矛盾，故必有$a = t$，所以$f(t)=t$，即$t\in A$，又由
(1)知$A\subseteq B$，所以，当函数$f(x)$单调递增时，$A = B$。