《2025年赢在微点数学》

　(2)（2023·山西吕梁三模）已知 $\sin37^{\circ}\approx\frac{3}{5}$，则 $\frac{\sqrt{2}\sin8^{\circ}+\cos53^{\circ}}{\sqrt{2}\cos8^{\circ}-\sin53^{\circ}}$ 的近似值为 （ ）
A. $\frac{4}{3}$　　
　B. $\frac{4}{5}$　　
　C. $\frac{3\sqrt{2}}{4}$　
　D. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

答案： A 解析 因为$\sin37^{\circ}\approx\frac{3}{5}$，所以$\cos37^{\circ}=\sqrt{1-\sin^{2}37^{\circ}}\approx\frac{4}{5}$，所以$\frac{\sqrt{2}\sin8^{\circ}+\cos53^{\circ}}{\sqrt{2}\cos8^{\circ}-\sin53^{\circ}}=\frac{\sin8^{\circ}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos53^{\circ}}{\cos8^{\circ}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin53^{\circ}}=\frac{\sin(53^{\circ}-45^{\circ})+\sin45^{\circ}\cos53^{\circ}}{\cos(53^{\circ}-45^{\circ})-\sin45^{\circ}\sin53^{\circ}}=\frac{\sin53^{\circ}\cos45^{\circ}-\cos53^{\circ}\sin45^{\circ}+\sin45^{\circ}\cos53^{\circ}}{\cos53^{\circ}\cos45^{\circ}+\sin53^{\circ}\sin45^{\circ}-\sin45^{\circ}\sin53^{\circ}}=\frac{\sin53^{\circ}\cos45^{\circ}}{\cos53^{\circ}\cos45^{\circ}}=\frac{\sin(90^{\circ}-37^{\circ})}{\cos(90^{\circ}-37^{\circ})}=\frac{\cos37^{\circ}}{\sin37^{\circ}}\approx\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$。故选 A。

[例3]　（2024·重庆市万州区模拟）若 $\frac{1}{\sin2\beta}=\frac{1}{\tan\beta}-\frac{1}{\tan\alpha}$，则 $\sin(\alpha - 2\beta)=$ （ ）
A. $-\frac{1}{2}$　
　B. 0　　　
　C. $\frac{1}{2}$　　
　D. 1

答案： B 解析 因为$\frac{1}{\sin2\beta}=\frac{1}{\tan\beta}-\frac{1}{\tan\alpha}$，所以$\frac{1}{\sin2\beta}=\frac{\cos\beta}{\sin\beta}-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\cos\beta\sin\alpha-\cos\alpha\sin\beta}{\sin\beta\sin\alpha}$，即$\frac{1}{2\sin\beta\cos\beta}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\beta\sin\alpha}$，则$\frac{1}{2\cos\beta}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin\alpha}$，故$2\sin(\alpha-\beta)\cos\beta=\sin\alpha$。所以$2\sin(\alpha-\beta)\cos\beta=\sin[(\alpha-\beta)+\beta]=\sin(\alpha-\beta)\cos\beta+\cos(\alpha-\beta)\sin\beta$，则$\sin(\alpha-\beta)\cos\beta-\cos(\alpha-\beta)\sin\beta = 0$，即$\sin[(\alpha-\beta)-\beta]=\sin(\alpha - 2\beta)=0$。故选 B。

[例4]　(1)已知 $\sin2\alpha=\frac{1}{3}$，则 $\cos^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})=$ （ ）
A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　
　B. $\frac{1}{3}$　　
　C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$　
　D. $\frac{2}{3}$

答案： D 解析 因为$\sin2\alpha=\frac{1}{3}$，所以$\cos^{2}(\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{1+\cos(2\alpha-\frac{\pi}{2})}{2}=\frac{1+\sin2\alpha}{2}=\frac{1+\frac{1}{3}}{2}=\frac{2}{3}$。故选 D。

　(2)已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\cos x\sin x+\sin^{2}x$。
（ⅰ）化简 $f(x)$ 的表达式；
（ⅱ）求函数 $f(x)$ 的最小正周期和单调递增区间。

答案： 解 (ⅰ) $f(x)=\sqrt{3}\cos x\sin x+\sin^{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}$。
(ⅱ) 函数$f(x)$的最小正周期为$\frac{2\pi}{2}=\pi$，令$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，则$-\frac{\pi}{6}+k\pi\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{3}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$，所以函数$f(x)$的单调递增区间为$[-\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{\pi}{3}+k\pi]$，$k\in\mathbf{Z}$。