《2025年赢在微点数学》

（2）（2024·湖南师大附中模拟）在$\triangle ABC$中，点$D$是线段$BC$上任意一点，$M$是线段$AD$的中点，若存在实数$\lambda$和$\mu$，使得$\overrightarrow{BM} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda + \mu =$　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 2
B. -2
C. $\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{2}$

答案：
（2）D 解析 如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在$t\in R$，使得$\overrightarrow{BD}=t\overrightarrow{BC}=t(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$，因为M是线段AD的中点，所以$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(-\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}-t\overrightarrow{AB})=-\frac{1}{2}(t + 1)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}t\overrightarrow{AC}$，又$\overrightarrow{BM}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，所以$\lambda=-\frac{1}{2}(t + 1)$，$\mu=\frac{1}{2}t$，所以$\lambda+\mu=-\frac{1}{2}$。

故选D。

[变式训练]　（1）（2022·新高考Ⅰ卷）在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AB$上，$BD = 2DA$。记$\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{CD} = \boldsymbol{n}$，则$\overrightarrow{CB} =$　　　　　　(　　　)
A. $3\boldsymbol{m} - 2\boldsymbol{n}$
B. $-2\boldsymbol{m} + 3\boldsymbol{n}$
C. $3\boldsymbol{m} + 2\boldsymbol{n}$
D. $2\boldsymbol{m} + 3\boldsymbol{n}$

答案： （1）B 解析 因为$BD = 2DA$，所以$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+3(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA})=-2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CD}=-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$。故选B。

（2）在$\triangle ABC$中，$AB = 2$，$BC = 3\sqrt{3}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$AD$为$BC$边上的高。若$\overrightarrow{AD} = \lambda\overrightarrow{AB} + \mu\overrightarrow{AC}$，则$\lambda - \mu =$________。

答案：
（2）$\frac{1}{3}$ 解析 如图，因为AD为BC边上的高，所以$AD\perp BC$。因为$AB = 2$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，所以$BD=\sqrt{3}=\frac{1}{3}BC$，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。又因为$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，所以$\lambda=\frac{2}{3}$，$\mu=\frac{1}{3}$，故$\lambda-\mu=\frac{1}{3}$。

[例2]　设$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是两个不共线的向量，已知$\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{e}_{1} - 8\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{CB} = \boldsymbol{e}_{1} + 3\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{CD} = 2\boldsymbol{e}_{1} - \boldsymbol{e}_{2}$。
（1）求证：$A$，$B$，$D$三点共线；
（2）若$\overrightarrow{BF} = 3\boldsymbol{e}_{1} - k\boldsymbol{e}_{2}$，且$\overrightarrow{BF} // \overrightarrow{BD}$，求实数$k$的值。

答案： 解 （1）证明：由已知，得$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=(2\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2})-(\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2})=\boldsymbol{e}_{1}-4\boldsymbol{e}_{2}$。因为$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{e}_{1}-8\boldsymbol{e}_{2}$，所以$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BD}$。又$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BD}$有公共点B，所以A，B，D三点共线。
（2）由（1），知$\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{e}_{1}-4\boldsymbol{e}_{2}$，若$\overrightarrow{BF}=3\boldsymbol{e}_{1}-k\boldsymbol{e}_{2}$，且$\overrightarrow{BF}//\overrightarrow{BD}$，可设$\overrightarrow{BF}=\lambda\overrightarrow{BD}(\lambda\in R)$，所以$3\boldsymbol{e}_{1}-k\boldsymbol{e}_{2}=\lambda\boldsymbol{e}_{1}-4\lambda\boldsymbol{e}_{2}$，即$(3 - \lambda)\boldsymbol{e}_{1}=(k - 4\lambda)\boldsymbol{e}_{2}$。又$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是两个不共线的向量，所以$\begin{cases}3 - \lambda = 0\\k - 4\lambda = 0\end{cases}$，解得$k = 12$。

[例3]　如图，在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{DB}$，$P$为$CD$上一点，且满足$\overrightarrow{AP} = m\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}(m \in \mathbf{R})$，则$m$的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　
A. $-\frac{3}{4}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{3}{4}$

答案： C 解析 由$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$，可得$\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AD}$，即$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$。因为C，P，D三点共线，所以$m+\frac{3}{4}=1$，$m=\frac{1}{4}$。故选C。