《2025年赢在微点数学》

【例1】
（1）已知二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + 1$的图象过点$P(-1,7)$，且满足$f(1 + x)=f(1 - x)$，则$a,b$的值分别是 （ ）
A. $2,4$ B. $-2,4$
C. $2,-4$ D. $-2,-4$

答案： C

（2）已知二次函数$y = f(x)$图象的顶点坐标为$(-\frac{3}{2},49)$，且方程$f(x)=0$的两个实根之差的绝对值等于$7$，则此二次函数的解析式是 。

答案： $f(x)=-4x^{2}-12x + 40$

【变式训练】
（1）已知$f(x)$为二次函数，且$f(x)=x^{2}+f^{\prime}(x)-1$，则$f(x)=$ （ ）
A. $x^{2}-2x + 1$ B. $x^{2}+2x + 1$
C. $2x^{2}-2x + 1$ D. $2x^{2}+2x - 1$

答案： B

（2）已知二次函数$f(x)$的图象经过点$(4,3)$，且图象被$x$轴截得的线段长为$2$，并且对任意$x\in\mathbf{R}$，都有$f(2 - x)=f(2 + x)$，则$f(x)$的解析式为 。

答案： $f(x)=x^{2}-4x + 3$

【例2】
（1）如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与$x$轴交于点$A(-1,0)$，顶点坐标为$(1,n)$，与$y$轴的交点在点$(0,2)$与点$(0,3)$之间（包含端点），则下列结论正确的是 （ ）

A. 当$x ＞ 3$时，$y ＜ 0$
B. $4a + 2b + c = 0$
C. $-1 ＜ a ＜ -\frac{2}{3}$
D. $3a + b ＞ 0$

答案： A

（2）已知函数$f(x)=x^{2}+mx - 1$，若对于任意$x\in[m,m + 1]$，都有$f(x) ＜ 0$成立，则实数$m$的取值范围是 。

答案： $(-\frac{\sqrt{2}}{2},0)$

【变式训练】
（1）若$abc ＞ 0$，则二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c$的图象可能是 （ ）

A. $(-\frac{4}{3},-1)$
B. $(-\frac{3}{4},\frac{1}{2})$
C. $(-2,1)$
D. $(-2,-1)$

答案： D