《2025年赢在微点数学》

1.(多选题)下列说法中不正确的是 （ ）
A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点

答案： ABC 解析 由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A错误；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确。故选ABC。

2.(2024·沈阳教学质量监测)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容。由曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。则如图所示正八面体(八个面均为正三角形)的总曲率为 （ ）


A.2π
B.4π
C.6π
D.8π

答案： B 解析 因为正八面体每一个顶点都是4个正三角形的交点，所以正八面体每个顶点处的曲率为2π - $\frac{\pi}{3}$×4 = $\frac{2\pi}{3}$，又正八面体有6个顶点，所以正八面体的总曲率为$\frac{2\pi}{3}$×6 = 4π。故选B。

3.(多选题)水平放置的三角形ABC的直观图A'B'C'中，D'是△A'B'C'中B'C'边上的一点，且D'C'＜D'B'，A'D'//y'轴，那么原三角形ABC的AB，AD，AC三条线段中 （ ）
A.最长的是AB
B.最长的是AC
C.最短的是AC
D.最短的是AD

答案：
AD 解析 由题意得原三角形ABC的平面图如图所示，其中，AD⊥BC，BD＞DC，所以AB＞AC＞AD，所以最长的是AB，最短的是AD，故选AD。

4.(2024·济南市模拟)已知正三角形的边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为 （ ）
A.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
C.2$\sqrt{2}$
D.2$\sqrt{6}$

答案：
B 解析 如图①，△ABC是边长为2的正三角形，取AB的中点为O，连接OC，以O为坐标原点，分别以AB，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系。再建立一个平面直角坐标系x'O'y'，且使∠x'O'y' = 45°，如图②，在x'轴上取点A'，B'，且使O'A' = O'B' = 1，在y'轴上取点C'，且使O'C' = $\frac{1}{2}$OC = $\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，连接A'C'，B'C'，则△A'B'C'即△ABC的直观图，所以S△A'B'C' = S△A'O'C' + S△B'O'C' = 2S△B'O'C' = $\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2 = $\frac{\sqrt{6}}{4}$。故选B。

5.长方体ABCD -A₁B₁C₁D₁中，AB =1，AD =AA₁ =2，E为棱AA₁上的动点，平面BED₁交棱CC₁于点F，则四边形BED₁F的周长的最小值为 （ ）
A.4$\sqrt{3}$
B.2$\sqrt{13}$
C.2($\sqrt{2}+\sqrt{5}$)
D.2 + 4$\sqrt{2}$

答案：
B 解析 作出长方体如图①，将其侧面展开，如图②所示，当点E为BD1与AA1的交点，点F为BD1与CC1的交点时，截面四边形BED1F的周长最小，最小值为2BD1 = 2$\sqrt{2^{2}+(1 + 2)^{2}}$ = 2$\sqrt{13}$。故选B。