《2025年赢在微点数学》

3. 函数 f(x) = $\frac{1}{x + 1}+\ln x$ 的定义域是 ________。

答案： $(0, +\infty)$ 解析：要使函数有意义，需满足$\begin{cases}x + 1\neq0 \\ x＞0\end{cases}$，所以函数的定义域为$(0, +\infty)$。

4. 设函数 f(x) = $\begin{cases}x^2 + 1,x\leq0 \\ -x + 3,x＞0 \end{cases}$，则使得 f(x)≥2 的自变量 x 的取值范围为 ____________。

答案： $(-\infty, -1]\cup(0, 1]$ 解析：因为$f(x)$是分段函数，所以$f(x)\geq2$应分段求解。当$x\leq0$时，$f(x)\geq2$即为$x^{2}+1\geq2$，解得$x\leq -1$或$x\geq1$，所以$x\leq -1$。当$x＞0$时，$f(x)\geq2$即为$-x + 3\geq2$，即$x\leq1$，所以$0＜x\leq1$。综上所述，$x\in(-\infty, -1]\cup(0, 1]$。

5. 已知函数 f(x) = $\begin{cases}x^2 + 2,x\leq1 \\ \frac{1}{x},x＞1 \end{cases}$，则 f(x)的值域为 ________________。

答案： $(0,1)\cup[2, +\infty)$ 解析：当$x\leq1$时，$f(x)=x^{2}+2$，所以$f(x)\in[2, +\infty)$；当$x＞1$时，$f(x)=\frac{1}{x}$，所以$f(x)\in(0,1)$。综上，$f(x)$的值域为$(0,1)\cup[2, +\infty)$。

1. 已知集合$A = \{ x\mid - 2 ＜ x\leqslant 1\}$，$B = \{ x\mid 0 ＜ x\leqslant 4\}$，则下列对应关系中是从集合$A$到集合$B$的函数是 （ ）
A. $f:x\to y = x + 1$
B. $f:x\to y = e^{x}$
C. $f:x\to y = x^{2}$
D. $f:x\to y = |x|$

答案： B 解析 对于A，当x = -1时，由f:x→y = x + 1，得y = 0，但0∉B，故A错误；对于B，因为从A = {x|-2 ＜ x≤1}中任取一个元素，通过$f:x→y = e^x$在B = {x|0 ＜ x≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B正确；对于C，当x = 0时，由f:x→y = x²，得y = 0，但0∉B，故C错误；对于D，当x = 0时，由f:x→y = |x|，得y = 0，但0∉B，故D错误。故选B。

2.（多选题）下列各图中，能表示函数$y = f(x)$的图象的是 （ ）

答案： ACD 解析 选项B中图象，对于x≠0的一个x值，有两个y值与之对应，故不是函数图象；选项A，C，D中图象，均满足函数定义，故是函数图象。故选ACD。

3.（多选题）下列各组函数是同一函数的为 （ ）
A. $f(x)=x^{2}-2x - 1$，$g(s)=s^{2}-2s - 1$
B. $f(x)=x - 1$，$g(x)=\frac{x^{2}-1}{x + 1}$
C. $f(x)=\sqrt{x^{2}}$，$g(x)=\begin{cases}x,x\geqslant 0,\\ -x,x ＜ 0\end{cases}$
D. $f(x)=\sqrt{-x^{3}}$，$g(x)=x\sqrt{-x}$

答案： AC 解析 同一函数需满足：①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足。故选AC。

[例1] （1）函数$y=\frac{\ln(x + 1)}{\sqrt{-x^{2}-3x + 4}}$的定义域为 （ ）
A. $(-4,-1)$
B. $(-4,1)$
C. $(-1,1)$
D. $(-1,1]$

答案： C 解析 由题意得$\begin{cases}x + 1＞0\\-x² - 3x + 4＞0\end{cases}$，解得 -1 ＜ x ＜ 1，故定义域为(-1,1)。故选C。

（2）已知函数$f(x)$的定义域为$(-4,-2)$，则函数$g(x)=f(x - 1)+\sqrt{x + 2}$的定义域为 ________。

答案： [-2,-1) 解析 因为f(x)的定义域为(-4,-2)，要使g(x)=f(x - 1)+$\sqrt{x + 2}$有意义，则$\begin{cases}-4 ＜ x - 1 ＜ -2\\x + 2≥0\end{cases}$，解得 -2≤x ＜ -1，所以函数g(x)的定义域为[-2,-1)。