《2025年赢在微点数学》

思考题1 (1)函数$f(x)=e^{x - 2}-e^{2 - x}$的图象关于（ ）
A.点$( - 2,0)$对称
B.直线$x = - 2$对称
C.点$(2,0)$对称
D.直线$x = 2$对称

答案： C

(2)若函数$f(x)$满足$f(2 - x)+f(x)= - 2$，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. $f(x - 1) - 1$
B. $f(x - 1)+1$
C. $f(x + 1) - 1$
D. $f(x + 1)+1$

答案： D

【典例2】
 (1)已知函数$f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$，则（ ）
A. $f(x)$的最小值为$2$
B. $f(x)$的图象关于$y$轴对称
C. $f(x)$的图象关于直线$x = \pi$对称
D. $f(x)$的图象关于直线$x=\frac{\pi}{2}$对称

答案： D

(2)(2024·广州市调研)已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x + 1)+f(x - 1)=2$，$f(x + 2)$为偶函数，若$f(0)=2$，则$\sum_{k = 1}^{115}f(k)=$（ ）
A. $116$ B. $115$ C. $114$ D. $113$

答案： C

思考题2 已知函数$f(x)(x\in\mathbf{R})$满足$f(x)=f(2 - x)$，若函数$y = |x^{2}-2x - 3|$与$y = f(x)$图象的交点为$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，$\cdots$，$(x_{m},y_{m})$，则$\sum_{i = 1}^{m}x_{i}=$（ ）
A. $0$
B. $m$
C. $2m$
D. $4m$

答案： B

【典例3】 (多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数$f(x)$及其导函数$f'(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$，记$g(x)=f'(x)$。若$f(\frac{3}{2}-2x)$，$g(2 + x)$均为偶函数，则（ ）
A. $f(0)=0$ B. $g(-\frac{1}{2})=0$
C. $f(-1)=f(4)$ D. $g(-1)=g(2)$

答案： BC

思考题3 已知函数$f(x)$及其导函数$f'(x)$的定义域均为$\mathbf{R}$，记函数$g(x)=f'(x)$，若函数$f(x)$的图象关于点$(3,0)$中心对称，$g(2x+\frac{3}{2})$为偶函数，且$g(1)=2$，$g(3)= - 3$，则$\sum_{k = 1}^{2 024}g(k)=$________。

答案： $678$