《2025年赢在微点数学》

【例 2】（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 $y = (x + a)e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是 ____________。

答案： $(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$

1. 曲线 $f(x)=\frac{x^{2}+x - 2}{e^{x}}$ 在 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 （ ）
A. $y = 3x - 2$
B. $y = 3x + 2$
C. $y = - 3x - 2$
D. $y = - 3x + 2$

答案： A

2.（2023·广东茂名二模）已知函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且 $x\leqslant1$ 时，$f(x)=e^{x}+x - 1$，则曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(2,f(2))$ 处的切线方程为 ____________。

答案： $2x + y-4 = 0$

3. 函数 $f(x)=\ln x+ax$ 的图象存在与直线 $2x - y = 0$ 平行的切线，则实数 $a$ 的取值范围是 （ ）
A. $(-\infty,2]$
B. $(-\infty,2)$
C. $(2,+\infty)$
D. $(0,+\infty)$

答案： B

【例 3】
（1）若直线 $l:y = kx + b(k\gt1)$ 为曲线 $f(x)=e^{x - 1}$ 与曲线 $g(x)=e\ln x$ 的公切线，则 $l$ 的纵截距 $b$ 等于 （ ）
A. 0 B. 1 C. e D. - e

答案： D

（2）（2024·晋中模拟）若两曲线 $y = \ln x - 1$ 与 $y = ax^{2}$ 存在公切线，则正实数 $a$ 的取值范围是 （ ）
A. $(0,2e]$ B. $[\frac{1}{2}e^{-3},+\infty)$
C. $(0,\frac{1}{2}e^{-3}]$ D. $[2e,+\infty)$

答案： B