《2025年赢在微点数学》

【例1】 已知函数$f(x)=ax^{2}+(2 - 4a)x - 8$。
(1)若不等式$f(x)＜0$的解集为$\left\{x\mid-\frac{2}{3}＜x＜4\right\}$，求$a$的值；
(2)当$a＜0$时，求关于$x$的不等式$f(x)＞0$的解集。

答案：

(1)(2024·山东潍坊抽测)若$a\in\mathbf{R}$，则关于$x$的不等式$4x^{2}-4ax + a^{2}-1＜0$的解集为 （ ）
A. $\left\{x\mid x＜\frac{a - 1}{2},或x＞\frac{a + 1}{2}\right\}$
B. $\left\{x\mid x＜-\frac{a + 1}{2},或x＞-\frac{a - 1}{2}\right\}$
C. $\left\{x\mid\frac{a - 1}{2}＜x＜\frac{a + 1}{2}\right\}$
D. $\left\{x\mid-\frac{a + 1}{2}＜x＜-\frac{a - 1}{2}\right\}$

答案： C

(2)解不等式$12x^{2}-ax＞a^{2}(a\in\mathbf{R})$。

答案：
 

【例2】 (1)不等式$ax^{2}+bx + 2＞0$的解集为$\{x\mid - 1＜x＜2\}$，则不等式$2x^{2}+bx + a＞0$的解集为 （ ）
A. $\left\{x\mid x＜-1,或x＞\frac{1}{2}\right\}$
B. $\left\{x\mid - 1＜x＜\frac{1}{2}\right\}$
C. $\left\{x\mid - 2＜x＜1\right\}$
D. $\left\{x\mid x＜-2,或x＞1\right\}$

答案： A

(2)已知函数$f(x)=x^{2}-4ax + a^{2}(a＞0)$的两个零点分别为$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}+\frac{a}{x_{1}x_{2}}$的最小值为 （ ）
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2

答案： C

(1)(2023·辽源检测)不等式$ax^{2}+bx + 2＞0$的解集是$\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)$，则$a - b=$ （ ）
A. - 4
B. 14
C. - 10
D. 10

答案： C

(2)关于$x$的方程$x^{2}-(a + 1)x + a = 0$的两个不等实数根$x_{1},x_{2}$都在$(0,2)$之内，则实数$a$的取值范围为 （ ）
A. $(0,2)$
B. $(0,1)$
C. $(1,2)$
D. $(0,1)\cup(1,2)$

答案： D