《2025年赢在微点数学》

思考题1 如图，△ABC中，AB = BC = 4，∠ABC = 30°，AD是边BC上的高，则$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=$（ ）

A.0　　　
　B.4　　　
　C.8　　
　D. - 4

答案： 【思考题1】B 解析 由题图中垂直，可得$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AD}$上的投影向量的模为$|\overrightarrow{AD}|$，所以$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AD}|^{2}$，只需求出$\triangle ABC$的高即可。由已知可得$|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AB}|\cdot\sin B = 2$，所以$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AD}|^{2}=4$。故选B。

思考题2 两个半径分别为$r_1$，$r_2$的⊙M，⊙N，公共弦AB的长为3，如图所示，则$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{AB}=$________。

答案： 【思考题2】9 解析 $AB$为两个圆的公共弦，从而圆心$M$，$N$在弦$AB$的投影为$AB$的中点，进而$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影向量的模能够确定，所以考虑计算$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{AB}$时可利用向量的投影定义。取$AB$的中点$T$，连接$MT$，$NT$，由圆的性质，得$MT\perp AB$，$NT\perp AB$。所以$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AT}|\cdot|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^{2}=\frac{9}{2}$，$\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AT}|\cdot|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^{2}=\frac{9}{2}$，因此$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{AB}=9$。

1. 若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是非零向量，则“$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} ＞ 0$”是“$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为锐角”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： B 解析 因为a,b为非零向量，a·b＞0，所以由向量数量积的定义知，a与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b＞0成立。故“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件。故选B。

2. 若$\overrightarrow{AB} = 3\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CD} = - 5\boldsymbol{a}$，且$|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{BC}|$，则四边形$ABCD$是（ ）
A. 平行四边形
B. 菱形
C. 等腰梯形
D. 非等腰梯形

答案： C 解析 由已知四边形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，且AD=BC，所以四边形ABCD是等腰梯形。故选C。

3. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形$ABCD$的顶点$D$被阴影遮住，找出$D$点的位置后，$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$的值为（ ）

A. 10
B. 11
C. 12
D. 13

答案：
B 解析 分析知，点D的位置如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，D(2,3)，所以$\overrightarrow{AB}=(4,1)$，$\overrightarrow{AD}=(2,3)$，所以$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=4×2 + 1×3 = 11$。

故选B。