《2025年赢在微点数学》

[例1]　已知扇形的圆心角是$\alpha$，半径为$R$，弧长为$l$。
　(1)若$\alpha=\frac{\pi}{3},R = 10\ cm$，求扇形的弧长$l$；
　(2)若扇形的周长是$20\ cm$，当扇形的圆心角$\alpha$为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
　(3)若$\alpha=\frac{\pi}{3},R = 2\ cm$，求扇形的弧所在的弓形的面积。

答案： 解　
(1)因为$\alpha=\frac{\pi}{3},R = 10\ cm$，所以$l = |\alpha|R=\frac{\pi}{3}\times10=\frac{10\pi}{3}(cm)$。
(2)由已知，得$l + 2R = 20$，所以$S=\frac{1}{2}lR=\frac{1}{2}(20 - 2R)R = 10R - R^{2}=-(R - 5)^{2}+25$。所以当$R = 5(cm)$时，$S$取得最大值，此时$l = 10(cm),\alpha = 2$。
(3)设弓形面积为$S_{弓形}$，由题意知$l=\frac{2\pi}{3}\ cm$，所以$S_{弓形}=\frac{1}{2}\times\frac{2\pi}{3}\times2-\frac{1}{2}\times2^{2}\times\sin\frac{\pi}{3}=(\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3})cm^{2}$。

[变式训练]　(多选题)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有　　　　(　　　)
A. 圆的半径为2
B. 圆的半径为1
C. 圆心角的弧度数是1
D. 圆心角的弧度数是2

答案： ABC　解析　设扇形半径为$r$，圆心角弧度数为$\alpha$，则由题意，得$\begin{cases}2r+\alpha r = 6\\\frac{1}{2}\alpha r^{2}=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}r = 1\\\alpha = 4\end{cases}$或$\begin{cases}r = 2\\\alpha = 1\end{cases}$，可得圆心角的弧度数是4或1。故选ABC。

[例2]　(1)已知点$P(\cos\frac{2\pi}{3},1)$是角$\alpha$终边上一点，则$\cos\alpha=$　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　
　B. $-\frac{\sqrt{5}}{5}$　
　C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$　
　D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
(1)B　解析　依题意，点$P$的坐标为$(-\frac{1}{2},1)$，则$OP=\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+1^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}(O$为坐标原点$)$，故$\cos\alpha=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。故选B。

　(2)(2024·贵阳模拟)已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边经过点$P(-2,m)$，若$\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则$m =$
　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. -4　　
　B. 4　　　
　C. $\pm4$　
　D. 5

答案：
(2)B　解析　由题可知，$\sin\alpha=\frac{m}{\sqrt{4 + m^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}＞0$，所以$m＞0$，解得$m = 4$。故选B。

[例3]　(1)(多选题)在平面直角坐标系$xOy$中，角$\alpha$的顶点为原点$O$，以$x$轴非负半轴为始边，终边经过点$P(1,m)(m\lt0)$，则下列各式的值恒大于0的是　　　　　　　　(　　　)
A. $\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}$　　　　　　
　B. $\cos\alpha - \sin\alpha$
C. $\sin\alpha\cos\alpha$　　　　
　D. $\sin\alpha + \cos\alpha$

答案：
(1)AB　解析　由题意知$\sin\alpha＜0,\cos\alpha＞0,\tan\alpha＜0$。选项A，$\frac{\sin\alpha}{\tan\alpha}＞0$；选项B，$\cos\alpha-\sin\alpha＞0$；选项C，$\sin\alpha\cos\alpha＜0$；选项D，$\sin\alpha+\cos\alpha$的符号不确定。故选AB。