《2025年赢在微点数学》

【典例】（1）（2023·新高考Ⅰ卷）设$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，设甲：$\{ a_{n}\}$为等差数列；乙：$\{\frac{S_{n}}{n}\}$为等差数列。则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案： C 解析 甲：$\{ a_{n}\}$为等差数列，设其首项为$a_{1}$，公差为$d$，则$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$，$\frac{S_{n}}{n}=a_{1}+\frac{n - 1}{2}d=\frac{d}{2}n+a_{1}-\frac{d}{2}$，$\frac{S_{n + 1}}{n + 1}-\frac{S_{n}}{n}=\frac{d}{2}$，因此$\{\frac{S_{n}}{n}\}$为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：$\{\frac{S_{n}}{n}\}$为等差数列，即$\frac{S_{n + 1}}{n + 1}-\frac{S_{n}}{n}=d$，$\frac{S_{n}}{n}=S_{1}+(n - 1)d$，即$S_{n}=nS_{1}+n(n - 1)d$，$S_{n - 1}=(n - 1)S_{1}+(n - 1)(n - 2)d$，当$n\geqslant2$时，上述两式相减，得$S_{n}-S_{n - 1}=S_{1}+2(n - 1)d$，于是$a_{n}=a_{1}+2(n - 1)d$，当$n = 1$时，上式成立，又$a_{n + 1}-a_{n}=a_{1}+2nd-[a_{1}+2(n - 1)d]=2d$为常数，因此$\{ a_{n}\}$为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件。故选C。

（2）等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$S_{m - 1}=-2,S_{m}=0,S_{m + 1}=3$，则$m=$（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： C 解析 解法一：由题意知$S_{m}=\frac{m(a_{1}+a_{m})}{2}=0$，所以$a_{1}=-a_{m}=-(S_{m}-S_{m - 1})=-2$，$a_{m + 1}=S_{m + 1}-S_{m}=3$，所以公差$d=a_{m + 1}-a_{m}=1$，所以$3=a_{m + 1}=-2 + m$，所以$m = 5$，故选C。
解法二：等差数列中，$\{\frac{S_{n}}{n}\}$亦为等差数列，即$\frac{S_{m - 1}}{m - 1}+\frac{S_{m + 1}}{m + 1}=2\frac{S_{m}}{m}$，代入得$m = 5$。故选C。

思考题 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{1}=9,\frac{S_{9}}{9}-\frac{S_{5}}{5}=-4$，则$S_{n}$取最大值时$n$的值为（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 4或5

答案： B 解析 解法一：由$\{ a_{n}\}$为等差数列，得$\frac{S_{9}}{9}-\frac{S_{5}}{5}=\frac{9a_{5}}{9}-\frac{5a_{3}}{5}=a_{5}-a_{3}=2d=-4$，所以$d=-2$。由$a_{1}=9$，得$a_{n}=-2n + 11$，令$a_{n}=-2n + 11＜0$，得$n＞\frac{11}{2}$，所以$S_{n}$取最大值时$n$为5。故选B。
解法二：由$\{\frac{S_{n}}{n}\}$为等差数列，得$\frac{S_{9}}{9}-\frac{S_{5}}{5}=4\cdot\frac{d}{2}=2d=-4$，所以$d=-2$，由$a_{1}=9$，得$a_{n}=-2n + 11$，令$a_{n}=-2n + 11＜0$，得$n＞\frac{11}{2}$，所以$S_{n}$取最大值时$n$为5。故选B。