《2025年赢在微点数学》

[例4]　如图所示，在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AA_{1}=AD = 1$，$E$为$CD$的中点。
　(1)求证：$B_{1}E\perp AD_{1}$；
　(2)在棱$AA_{1}$上是否存在一点$P$，使得$DP//$平面$B_{1}AE$？若存在，求$AP$的长；若不存在，请说明理由。
　　　　　　　　　　　　

答案：
解　
(1)证明：以$A$为原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_{1}}$的方向分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。设$AB = a$，则

$A(0,0,0)$，$D(0,1,0)$，$D_{1}(0,1,1)$，$E(\frac{a}{2},1,0)$，$B_{1}(a,0,1)$。故$\overrightarrow{AD_{1}}=(0,1,1)$，$\overrightarrow{B_{1}E}=(-\frac{a}{2},1,-1)$。因为$\overrightarrow{B_{1}E}\cdot\overrightarrow{AD_{1}}=-\frac{a}{2}\times0 + 1\times1+(-1)\times1 = 0$，所以$\overrightarrow{B_{1}E}\perp\overrightarrow{AD_{1}}$，即$B_{1}E\perp AD_{1}$。
(2)存在满足要求的点$P$，假设在棱$AA_{1}$上存在一点$P(0,0,z_{0}),0\leqslant z_{0}\leqslant1$，使得$DP//$平面$B_{1}AE$，此时$\overrightarrow{DP}=(0,-1,z_{0})$。设平面$B_{1}AE$的法向量为$n=(x,y,z)$。$\overrightarrow{AB_{1}}=(a,0,1)$，$\overrightarrow{AE}=(\frac{a}{2},1,0)$。因为$n\perp$平面$B_{1}AE$，所以$n\perp\overrightarrow{AB_{1}},n\perp\overrightarrow{AE}$，得$\begin{cases}ax + z = 0\\\frac{a}{2}x + y = 0\end{cases}$，取$x = 1$，则$\begin{cases}y = -\frac{a}{2}\\z = - a\end{cases}$，故$n=(1,-\frac{a}{2},-a)$是平面$B_{1}AE$的一个法向量。要使$DP//$平面$B_{1}AE$，只需$n\perp\overrightarrow{DP}$，即$\frac{a}{2}-az_{0}=0$，解得$z_{0}=\frac{1}{2}$。所以存在点$P$，满足$DP//$平面$B_{1}AE$，此时$AP=\frac{1}{2}$。

如图，正方形$ABCD$的边长为$2\sqrt{2}$，四边形$BDEF$是平行四边形，$BD$与$AC$交于点$G$，$O$为$GC$的中点，$FO=\sqrt{3}$，且$FO\perp$平面$ABCD$。
　(1)求证：$AE//$平面$BCF$；
　(2)求证：$CF\perp$平面$AEF$。
　　　　　　　　　　　

答案：
证明　如图，取$BC$的中点$H$，连接$OH$，则$OH// BD$，又四边形$ABCD$为正方形，所以$AC\perp BD$，所以$OH\perp AC$，故以$O$为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则$A(3,0,0)$，$C(-1,0,0)$，$D(1,-2,0)$，$F(0,0,\sqrt{3})$，$B(1,2,0)$。$\overrightarrow{BC}=(-2,-2,0)$，$\overrightarrow{CF}=(1,0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BF}=(-1,-2,\sqrt{3})$。

(1)设平面$BCF$的法向量为$n=(x,y,z)$。则$\begin{cases}n\cdot\overrightarrow{BC}=0\\n\cdot\overrightarrow{CF}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-2x - 2y = 0\\x+\sqrt{3}z = 0\end{cases}$，取$z = 1$，得$n=(-\sqrt{3},\sqrt{3},1)$是平面$BCF$的一个法向量。又四边形$BDEF$为平行四边形，所以$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BF}=(-1,-2,\sqrt{3})$，所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}=(-2,-2,0)+(-1,-2,\sqrt{3})=(-3,-4,\sqrt{3})$，因为$\overrightarrow{AE}\cdot n=3\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\sqrt{3}=0$，所以$\overrightarrow{AE}\perp n$，又$AE\not\subset$平面$BCF$，所以$AE//$平面$BCF$。
(2)因为$\overrightarrow{AF}=(-3,0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{AF}=-3 + 3 = 0$，$\overrightarrow{CF}\cdot\overrightarrow{AE}=-3 + 3 = 0$，所以$\overrightarrow{CF}\perp\overrightarrow{AF},\overrightarrow{CF}\perp\overrightarrow{AE}$，即$CF\perp AF,CF\perp AE$。又$AE\cap AF = A,AE,AF\subset$平面$AEF$，所以$CF\perp$平面$AEF$。