《2025年赢在微点数学》

1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. $(\sin a)'=\cos a$（$a$为常数）
B. $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$
C. $(3^x)' = 3^x\log_3\mathrm{e}$
D. $(\sqrt{x + 1})'=\frac{2}{\sqrt{x + 1}}$

答案： **B** 解析：由 $a$ 为常数知 $(\sin a)^{\prime}=0$，A 错误；$(\sin 2x)^{\prime}=\cos 2x \cdot (2x)^{\prime}=2\cos 2x$，B 正确；$(3^{x})^{\prime}=3^{x}\ln 3$，C 错误；$(\sqrt{x + 1})^{\prime}=[(x + 1)^{\frac{1}{2}}]^{\prime}=\frac{1}{2}(x + 1)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$，D 错误。故选 B。

2. 某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是$h(t)=10 - 4.9t^2 + 8t$（距离单位：米，时间单位：秒），则他在 0.5 秒时的瞬时速度为（ ）
A. 9.1 米/秒
B. 6.75 米/秒
C. 3.1 米/秒
D. 2.75 米/秒

答案： **C** 解析：因为 $h^{\prime}(t)= - 9.8t + 8$，所以 $h^{\prime}(0.5)= - 9.8\times0.5 + 8 = 3.1$，所以此运动员在 0.5 秒时的瞬时速度为 3.1 米/秒。故选 C。

3. 已知函数$f(x)=x\ln x + ax^2 + 2$，若$f'(\mathrm{e}) = 0$，则$a =$________。

答案： $-\frac{1}{e}$ 解析：由题意，得 $f^{\prime}(x)=1+\ln x + 2ax$，所以 $f^{\prime}(e)=2ae + 2 = 0$，解得 $a = -\frac{1}{e}$。

4. 函数$f(x)=\mathrm{e}^x+\frac{1}{x}$在$x = 1$处的切线方程为________。

答案： $y=(e - 1)x + 2$ 解析：由题意，得 $f^{\prime}(x)=e^{x}-\frac{1}{x^{2}}$，所以 $f^{\prime}(1)=e - 1$，又因为 $f(1)=e + 1$，所以切点为 $(1,e + 1)$，切线斜率 $k = f^{\prime}(1)=e - 1$，故切线方程为 $y-(e + 1)=(e - 1)(x - 1)$，即 $y=(e - 1)x + 2$。

5.（教材改编）已知函数$f(x)$满足$f(x)=f'(\frac{\pi}{4})\cos x-\sin x$，则$f'(\frac{\pi}{4})=$________。

答案： $1-\sqrt{2}$ 解析：$f^{\prime}(x)= - f^{\prime}(\frac{\pi}{4})\sin x-\cos x$，令 $x = \frac{\pi}{4}$，得 $f^{\prime}(\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}f^{\prime}(\frac{\pi}{4})-\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得 $f^{\prime}(\frac{\pi}{4})=1-\sqrt{2}$。

1.（多选题）下列求导运算正确的是 （ ）
A. $(x+\frac{1}{x})'=1+\frac{1}{x^{2}}$
B. $(\log_{2}x)'=\frac{1}{x\ln 2}$
C. $(5^{x})'=5^{x}\log_{5}x$
D. $(x^{2}\cos x)'=2x\cos x - x^{2}\sin x$

答案： BD

2. $f(x)=x(2022+\ln x)$，若 $f'(x_{0})=2023$，则 $x_{0}=$ （ ）
A. $e^{2}$
B. 1
C. $\ln 2$
D. e

答案： B

3. 现有一球形气球，在吹气过程中，气球的体积 $V$（单位：L）与直径 $d$（单位：dm）的关系式为 $V = \frac{\pi d^{3}}{6}$，当 $d = 2$ dm 时，气球体积的瞬时变化率为 （ ）
A. $2\pi$
B. $\pi$
C. $\frac{\pi}{2}$
D. $\frac{\pi}{4}$

答案： A

4. 若函数 $f(x)=3\sin^{2}(2x+\frac{\pi}{3})+5$，则 $f'(\frac{\pi}{6})=$ ________。

答案： $-3\sqrt{3}$

【例 1】（1）（2023·全国甲卷）曲线 $y = \frac{e^{x}}{x + 1}$ 在点 $(1,\frac{e}{2})$ 处的切线方程为 （ ）
A. $y = \frac{e}{4}x$ B. $y = \frac{e}{2}x$
C. $y = \frac{e}{4}x+\frac{e}{4}$ D. $y = \frac{e}{2}x+\frac{3e}{4}$
（2）（2022·新高考Ⅱ卷）曲线 $y = \ln|x|$ 过坐标原点的两条切线的方程为 ____________，____________。

答案： C@@$y=\frac{x}{e}$@@$y = -\frac{x}{e}$