《2025年赢在微点数学》

【例1】　数列{aₙ}与{bₙ}的通项公式分别为aₙ = 4n - 1，bₙ = 3n + 2，它们的公共项由小到大排列组成数列{cₙ}，求数列{cₙ}的通项公式。

答案： 解　解法一:设$a_{k}=b_{m}=c_{p}$，则$4k - 1 = 3m + 2$，所以$k=\frac{3(m + 1)}{4}$，因为3，4互质，所以$m + 1$必为4的倍数，即$m = 4p - 1$，所以$c_{p}=b_{m}=3(4p - 1)+2 = 12p - 1$，即数列$\{c_{n}\}$的通项公式为$c_{n}=12n - 1$。
解法二:由观察可知，两个数列的第一个公共项为11，所以$c_{1}=11$。设$a_{k}=b_{m}=c_{p}$，则$4k - 1 = 3m + 2$，所以$a_{k + 1}=4(k + 1)-1 = 4k + 3 = 3m + 6 = 3(m+\frac{4}{3})+2$不是数列$\{b_{n}\}$中的项，$a_{k + 2}=4(k + 2)-1 = 4k + 7 = 3m + 10 = 3(m+\frac{8}{3})+2$不是数列$\{b_{n}\}$中的项，$a_{k + 3}=4(k + 3)-1 = 4k + 11 = 3m + 14 = 3(m + 4)+2$是数列$\{b_{n}\}$中的项。所以$c_{p + 1}=a_{k + 3}$，所以$c_{p + 1}-c_{p}=a_{k + 3}-a_{k}=3\times4 = 12$，所以数列$\{c_{n}\}$是等差数列，其公差为12，首项为11，因此，数列$\{c_{n}\}$的通项公式为$c_{n}=12n - 1$。

【变式训练】　(1)将数列{2n - 1}与{3n - 2}的公共项从小到大排列得到数列{aₙ}，则{aₙ}的前n项和为________。

答案： $3n^{2}-2n$　解析　数列$\{2n - 1\}$的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列$\{3n - 2\}$的各项为1，4，7，10，13，…。观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则$a_{n}=1 + 6(n - 1)=6n - 5$。故$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{n(1 + 6n - 5)}{2}=3n^{2}-2n$。

(2)(2024·广州综合测试)已知n∈N*，将数列{2n - 1}与数列{n² - 1}的公共项从小到大排列得到新数列{aₙ}，则$\frac{1}{a₁}$ + $\frac{1}{a₂}$ + … + $\frac{1}{a₁₀}$ = ________。

答案： $\frac{10}{21}$　解析　显然$2n - 1$是奇数，故两个数列的公共项必为奇数，对于数列$\{n^{2}-1\}$，当$n$为奇数时，设$n = 2k - 1(k\in N^{*})$，则$n^{2}-1=(2k - 1)^{2}-1 = 4k(k - 1)$为偶数；当$n$为偶数时，设$n = 2k(k\in N^{*})$，则$n^{2}-1 = 4k^{2}-1$为奇数。故$a_{n}=4n^{2}-1$，$\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$，所以$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n + 1})=\frac{n}{2n + 1}$，所以$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{10}}=\frac{10}{21}$。

【例2】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知{aₙ}为等差数列，bₙ = { aₙ - 6(n为奇数)，2aₙ(n为偶数)， 记Sₙ，Tₙ分别为{aₙ}，{bₙ}的前n项和，S₄ = 32，T₃ = 16。
　(1)求{aₙ}的通项公式；
　(2)证明：当n＞5时，Tₙ＞Sₙ。

答案：
(1)设等差数列{aₙ}的公差为d，而bₙ = { aₙ - 6,n = 2k - 1,2aₙ,n = 2k, k∈N*，
　则b₁ = a₁ - 6，b₂ = 2a₂ = 2a₁ + 2d，b₃ = a₃ - 6 = a₁ + 2d - 6，
　所以{ S₄ = 4a₁ + 6d = 32，T₃ = 4a₁ + 4d - 12 = 16，
　思维点1：将和用基本量表示出来，利用解方程组的方法求出a₁,d。
　解得{ a₁ = 5，d = 2， aₙ = a₁ + (n - 1)d = 2n + 3，
　所以数列{aₙ}的通项公式是aₙ = 2n + 3。
(2)证明：由
(1)知Sₙ = $\frac{n(5 + 2n + 3)}{2}$ = n² + 4n，
　思维点2：直接利用等差数列的求和公式得Sₙ。
　bₙ = { 2n - 3,n = 2k - 1,4n + 6,n = 2k, k∈N*，
　当n为偶数时，bₙ₋₁ + bₙ = 2(n - 1) - 3 + 4n + 6 = 6n + 1，Tₙ = $\frac{13 + (6n + 1)}{2}$ · $\frac{n}{2}$ = $\frac{3}{2}$n² + $\frac{7}{2}$n，
　当n＞5时，Tₙ - Sₙ = ($\frac{3}{2}$n² + $\frac{7}{2}$n) - (n² + 4n) = $\frac{1}{2}$n(n - 1)＞0，因此Tₙ＞Sₙ。
　当n为奇数时，Tₙ = Tₙ₊₁ - bₙ₊₁ = $\frac{3}{2}$(n + 1)² + $\frac{7}{2}$(n + 1) - [4(n + 1) + 6] = $\frac{3}{2}$n² + $\frac{5}{2}$n - 5，
　思维点3：利用“分组”法奇数项和偶数项的和构成等差数列，在进行奇偶讨论时，先讨论偶数情况后借助Tₙ = Tₙ₊₁ - bₙ₊₁求n为奇数时的和。
　当n＞5时，Tₙ - Sₙ = ($\frac{3}{2}$n² + $\frac{5}{2}$n - 5) - (n² + 4n) = $\frac{1}{2}$(n + 2)(n - 5)＞0，
　思维点4：采用“作差法”比较Tₙ与Sₙ的大小。
　因此Tₙ＞Sₙ。综上，当n＞5时，Tₙ＞Sₙ。