《2025年赢在微点数学》

【例 3】已知函数$f(x) = \begin{cases}4x+\frac{1}{x}+4,x ＜ 0, \\x^{3} - 3x - 1,x\geqslant 0, \end{cases}$若函数$g(x)=f(x)-m$恰有 3 个零点，则实数$m$的取值范围是 （ ）
A. $(-1,0)\cup\{ - 3\}$
B. $[-1,0]\cup\{ - 3\}$
C. $(0,1)\cup\{ - 3\}$
D. $(-1,1)\cup\{ - 3\}$

答案：
A 解析：依题意可得，$f(x)$ 的图象与直线 $y = m$ 有3个公共点。因为函数 $f(x)=\begin{cases}4x+\frac{1}{x}+4,x＜0\\x^{3}-3x - 1,x\geq0\end{cases}$，所以 $f^{\prime}(x)=\begin{cases}4-\frac{1}{x^{2}}=\frac{4x^{2}-1}{x^{2}}=\frac{(2x + 1)(2x - 1)}{x^{2}},x＜0\\3x^{2}-3=3(x + 1)(x - 1),x\geq0\end{cases}$。当 $x＜-\frac{1}{2}$ 时，$f(x)$ 单调递增；当 $-\frac{1}{2}＜x＜0$ 时，$f(x)$ 单调递减；当 $0\leq x＜1$ 时，$f(x)$ 单调递减；当 $x＞1$ 时 $f(x)$ 单调递增。故 $f(x)$ 的极小值为 $f(1)=-3$，极大值为 $f(-\frac{1}{2})=0$。作出 $f(x)$ 的大致图象，如图所示。由图可知，实数 $m$ 的取值范围是 $(-1,0)\cup\{-3\}$。故选A。

1. 已知函数$f(x)=x|x|-2x$，则下列结论正确的是 （ ）
A. $f(x)$是偶函数，单调递增区间是$(0,+\infty)$
B. $f(x)$是偶函数，单调递减区间是$(-\infty,1)$
C. $f(x)$是奇函数，单调递减区间是$(-1,1)$
D. $f(x)$是奇函数，单调递增区间是$(-\infty,0)$

答案：
C 解析：$f(x)=x\vert x\vert-2x=\begin{cases}x^{2}-2x,x\geq0\\-x^{2}-2x,x＜0\end{cases}$，画出函数 $f(x)$ 的图象如图所示，由图可知，函数 $f(x)$ 的图象关于原点对称，故函数 $f(x)$ 为奇函数，且在 $(-1,1)$ 上单调递减。故选C。 

2.（多选题）（2024·山西联考）已知函数$f(x)=\begin{cases}|\ln(x - 1)|,x ＞ 1, \\x^{2} - 4|x| + 3,x\leqslant 1, \end{cases}$则下列结论正确的是 （ ）
A. 函数$f(x)$在$[0,2]$上单调递减
B. 函数$f(x)$的值域是$[-1,+\infty)$
C. 若方程$f(x)=a$有 5 个解，则$a$的取值范围为$(0,3)$
D. 若函数$y = f(x)-a$有 3 个不同的零点$x_{1},x_{2},x_{3}(x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3})$，则$x_{1}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}$的取值范围为$(-\infty,-3)$

答案：
BCD 解析：$f(x)=\begin{cases}\vert\ln(x - 1)\vert,x＞1\\x^{2}-4\vert x\vert+3,x\leq1\end{cases}=\begin{cases}\ln(x - 1),x\geq2\\-\ln(x - 1),1＜x＜2\\x^{2}-4x + 3,0＜x\leq1\\x^{2}+4x + 3,x\leq0\end{cases}$，画出 $f(x)$ 的图象，如图。  A选项，函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 和 $(1,2]$ 上单调递减，不能说在 $[0,2]$ 上单调递减，A错误。B选项，函数 $f(x)$ 在 $x=-2$ 处取得最小值，为 $-1$，故值域是 $[-1,+\infty)$，B正确。C选项，若方程 $f(x)=a$ 有5个解，则要满足 $y = f(x)$ 的图象与直线 $y = a$ 有5个交点，故 $0＜a＜3$，所以 $a$ 的取值范围为 $(0,3)$，C正确。D选项，若函数 $f(x)-a$ 有3个不同的零点 $x_{1},x_{2},x_{3}(x_{1}＜x_{2}＜x_{3})$，则 $a\in(3,+\infty)$，令 $x_{1}^{2}+4x_{1}+3＞3$，解得 $x_{1}＜-4$；由 $-\ln(x_{2}-1)=\ln(x_{3}-1)$，解得 $\frac{1}{x_{2}-1}=x_{3}-1$，即 $x_{2}x_{3}-(x_{2}+x_{3})=0$，则 $x_{1}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}=x_{1}+\frac{x_{2}+x_{3}}{x_{2}x_{3}}=x_{1}+1\in(-\infty,-3)$，故 $x_{1}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}$ 的取值范围为 $(-\infty,-3)$，D正确。故选BCD。