《2025年赢在微点数学》

[变式训练]　已知等差数列$\{a_{n}\}$满足$a_{6}=6 + a_{3}$，且$a_{3}-1$是$a_{2}-1$，$a_{4}$的等比中项。
（1）求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
（2）设$b_{n}=\frac{1}{a_{n}a_{n + 1}}(n\in\mathbf{N}^{*})$，数列$\{b_{n}\}$的前n项和为$T_{n}$，求使$T_{n}＜\frac{1}{7}$成立的最大正整数n的值。

答案：

[例4]　甲、乙两人分别入职A，B两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A公司第一年月基础工资为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B公司第一年月基础工资为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍。
（1）分别求甲、乙两人工作满10年的年基础工资收入总量（精确到1）；
（2）设甲、乙两人入职第n年的月基础工资分别为$a_{n}$，$b_{n}$元，记$c_{n}=a_{n}-b_{n}$，讨论数列$\{c_{n}\}$的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由。（$1.05^{10}\approx1.6289$）

答案：

[变式训练]　（1）（2024·龙岩模拟）已知函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+4x$，记等差数列$\{a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，若$f(a_{1}+2)=100$，$f(a_{2025}+2)=-100$，则$S_{2025}$等于（ ）
A. -4050
B. -2025
C. 2025
D. 4050

答案： A

（2）数列$\{a_{n}\}$是等差数列，$a_{1}=1$，公差$d\in[1,2]$，且$a_{4}+\lambda a_{10}+a_{16}=15$，则实数$\lambda$的最大值为________。

答案： $-\frac{1}{2}$