《2025年赢在微点数学》

[变式训练]　（1）若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为____________________。

答案：
(1)x² + y² = 25 解析 由△ABO为直角三角形，M为线段AB的中点，所以|OM| = 1/2|AB| = 5，故M的轨迹是以O为圆心，半径为5的圆，圆的方程为x² + y² = 25。

（2）(2023·菏泽一模)已知两条直线l₁:2x - 3y + 2 = 0，l₂:3x - 2y + 3 = 0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l₁，l₂均相交，且l₁，l₂被圆所截得的线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为__________________。

答案：
(2)(x + 1)² - y² = 65 解析 设动圆圆心为C(x,y)，则C到l1的距离d1 = |2x - 3y + 2|/√13，C到l2的距离d2 = |3x - 2y + 3|/√13。因为l1，l2被圆所截得的线段的长度分别是定值26，24，所以2√(r² - d1²)=26，2√(r² - d2²)=24，化简得r² - d1² = 169，r² - d2² = 144，两式相减得d2² - d1² = 25，即(3x - 2y + 3)²/13 - (2x - 3y + 2)²/13 = 25，整理可得(x + 1)² - y² = 65。

[例3]　设点P(x,y)是圆x² + (y - 3)² = 1上的动点，定点A(2,0)，B(-2,0)。则$\overrightarrow{PA}$·$\overrightarrow{PB}$的最大值为________。

答案： 12 解析 由题意，得向量PA = (2 - x,-y)，向量PB = (-2 - x,-y)，所以向量PA·向量PB = x² + y² - 4，由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程x²+(y - 3)² = 1，故x² = -(y - 3)² + 1，所以向量PA·向量PB = -(y - 3)² + 1 + y² - 4 = 6y - 12。易知2 ≤ y ≤ 4，所以当y = 4时，向量PA·向量PB的值最大，最大值为6×4 - 12 = 12。

[例4]　(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x² + y² - 4x - 2y - 4 = 0，则x - y的最大值是（ ）
A. 1 + $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
B. 4
C. 1 + 3√2
D. 7

答案： C 解析 由x² + y² - 4x - 2y - 4 = 0可得(x - 2)²+(y - 1)² = 9，设x - y = k，则圆心到直线x - y = k的距离d = |2 - 1 - k|/√2 ≤ 3，解得1 - 3√2 ≤ k ≤ 1 + 3√2。故选C。

1. 已知半径为1的圆O上有三个动点A,B,C，且|AB| = $\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{AC}$·$\overrightarrow{BC}$的最小值为____。

答案：
1 - √2 解析 因为|AB| = √2，|OA| = |OB| = 1，所以|OA|²+|OB|² = |AB|²，所以∠AOB = π/2，以O为原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，则

A(1,0)，B(0,1)，设C(x,y)，则x² + y² = 1，
向量AC = (x - 1,y)，向量BC = (x,y - 1)，所以向量AC·向量BC = x(x - 1)+y(y - 1)=x² + y² - x - y = 1-(x + y)，又(x + y)² ≤ 2(x² + y²)=2，所以x + y ≤ √2(当且仅当x = y = √2/2时等号成立)，所以1-(x + y) ≥ 1 - √2。故向量AC·向量BC的最小值为1 - √2。

2. (2024·山东滨州模拟)已知圆C的半径为√2，其圆心C在直线x + y + 2 = 0上，圆C上的动点P到直线kx - y - 2k + 2 = 0(k∈R)的距离的最大值为4√2，则圆C的标准方程为__________________。

答案：
(x + 1)²+(y + 1)² = 2 解析 kx - y - 2k + 2 = 0可化为k(x - 2)-y + 2 = 0，所以直线kx - y - 2k + 2 = 0(k∈R)过定点A(2,2)。因为圆C上的动点P到直线kx - y - 2k + 2 = 0(k∈R)的距离的最大值为4√2，所以圆心C到直线kx - y - 2k + 2 = 0(k∈R)的距离的最大值为4√2 - √2 = 3√2。又圆心C在直线x + y + 2 = 0上，所以可设C(a,-a - 2)。如图，易知直线CA与直线kx - y - 2k + 2 = 0(k∈R)垂直时，圆心C到直线kx - y - 2k + 2 = 0(k∈R)的距离最大，即√((2 - a)²+(4 + a)²)=3√2，解得a = -1，故圆心C(-1,-1)，故圆C的标准方程为(x + 1)²+(y + 1)² = 2。