《2025年赢在微点数学》

1. 用长度为$24\ m$的材料围成一中间带有两道隔墙的矩形场地，要使矩形的面积最大(忽略隔墙所占面积)，则隔墙的长度为 （ ）
A. $2\ m$
B. $3\ m$
C. $4\ m$
D. $5\ m$

答案： 解析：设隔墙的长度为$x$m（$0 ＜ x ＜ 6$），矩形面积为$y$m²，则$y = x\times\frac{24 - 4x}{2}=2x(6 - x)= - 2(x - 3)^2 + 18$，所以当$x = 3$时，$y$最大。故选B。

2. 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品$x$万件时的生产成本为$C(x)=\frac{1}{2}x^{2} + 2x + 20$(万元)。$1$万件售价是$20$万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为 （ ）
A. $36$万件
B. $18$万件
C. $22$万件
D. $9$万件

答案： 解析：利润$L(x)=20x - C(x)=-\frac{1}{2}(x - 18)^2 + 142$，当$x = 18$时，$L(x)$有最大值。故选B。

3. 已知$f(x)=x^{2},g(x)=2^{x},h(x)=\log_{2}x$，当$x \in (4, +\infty)$时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 （ ）
A. $f(x)＞g(x)＞h(x)$
B. $g(x)＞f(x)＞h(x)$
C. $g(x)＞h(x)＞f(x)$
D. $f(x)＞h(x)＞g(x)$

答案： 解析：由图象知，当$x\in(4, +\infty)$时，增长速度由大到小依次为$g(x)＞f(x)＞h(x)$。故选B。

4. 一个容器装有细砂$a\ cm^{3}$，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，$t\ min$后剩余的细砂量为$y = ae^{-bt}\ cm^{3}$，经过$8\ min$后发现容器内还有一半的细砂，则再经过________$min$，容器中的细砂只有开始时的八分之一。

答案： 解析：当$t = 0$时，$y = a$，当$t = 8$时，$y = ae^{-8b}=\frac{1}{2}a$，所以$e^{-8b}=\frac{1}{2}$，若容器中的细砂只有开始时的八分之一，则$y = ae^{-bt}=\frac{1}{8}a$，$e^{-bt}=\frac{1}{8}=(e^{-8b})^3 = e^{-24b}$，即$t = 24$，所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一。

【例1】（2024·北京门头沟区检测）在声学中，音量模型被定义为$L_{p}=20\lg\frac{p}{p_{0}}$，其中$L_{p}$是音量（单位：dB），$p_{0}$是基准声压，为$2\times10^{-5}\text{ Pa}$，$p$是实际声压。人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值。经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中$240\text{ Hz}$对应的听觉下限阈值为$20\text{ dB}$，$1 000\text{ Hz}$对应的听觉下限阈值为$0\text{ dB}$。则下列结论正确的是 （ ）

A. 音量同为$20\text{ dB}$的声音，$30～100\text{ Hz}$的低频比$1 000～10 000\text{ Hz}$的高频更容易被人们听到
B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C. $240\text{ Hz}$的听觉下限阈值的实际声压为$0.002\text{ Pa}$
D. $240\text{ Hz}$的听觉下限阈值的实际声压为$1 000\text{ Hz}$的听觉下限阈值实际声压的$10$倍

答案： D@@解析：对于A，30～100Hz的低频对应图象的听觉下限阈值高于20dB，1000～10000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，所以对比可知高频更容易被听到，故A错误。对于B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误。对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，$p_0 = 2×10^{-5}$Pa，令$20\lg\frac{p}{p_0}=20$，此时$p = 10p_0 = 0.0002$Pa，故C错误。对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令$20\lg\frac{p}{p_0}=0$，此时$p = p_0$，所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确。故选D。

【变式训练】（多选题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗$1\text{ L}$汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是 （ ）

A. 消耗$1\text{ L}$汽油，乙车最多可行驶$5\text{ km}$
B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C. 甲车以$80\text{ km/h}$的速度行驶$1\text{ h}$，消耗$8\text{ L}$汽油
D. 某城市机动车最高限速$80\text{ km/h}$，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

答案： CD@@解析：对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1L汽油，行驶里程都超过5km，故A错误。对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，B错误。对于C选项：甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为10km/L，则行驶1h，消耗了汽油$80×1÷10 = 8$(L)，故C对。对于D选项：速度在80km/h以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对。故选CD。