《2025年赢在微点数学》

【变式训练】
（1）若$a$，$b$，$c$为实数，且$a＜b＜0$，则下列说法正确的是 （ ）
A. $ac^2＜bc^2$ B. $\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$
C. $\frac{b}{a}＞\frac{a}{b}$ D. $a^2＞ab＞b^2$

答案： D

【例3】
（1）已知$-1＜x＜4$，$2＜y＜3$，则$x - y$的取值范围是________，$3x + 2y$的取值范围是________。

答案： $(-4,2)$   $(1,18)$

（2）已知$3＜a＜8$，$4＜b＜9$，则$\frac{a}{b}$的取值范围是________。

答案：
(31​,2)

【变式训练】
（1）已知$0＜\beta＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$，则$\alpha - \beta$的取值范围是________。

答案： $(0,\frac{\pi}{2})$

（2）已知$a＞b＞c$，$2a + b + c = 0$，则$\frac{c}{a}$的取值范围是________。

答案： $(-3,-1)$

思考题：(1)当$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{5}{2}$时，函数$y = \sqrt{2x - 1}+\sqrt{5 - 2x}$的最大值为________。

答案： $2\sqrt{2}$

2. 几个重要的不等式
（1）$a^{2}+b^{2}\geqslant$__________$(a,b\in\mathbf{R})$。
（2）$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqslant$__________$(ab ＞ 0)$。
（3）$ab\leqslant$__________$(a,b\in\mathbf{R})$。
（4）$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geqslant$__________$(a,b\in\mathbf{R})$。
以上不等式等号成立的条件均为$a = b$。

答案： $2ab$
@@$2$
@@$(\frac{a + b}{2})^2$
@@$(\frac{a + b}{2})^2$

1. 基本不等式：$\sqrt{ab}\leqslant\frac{a + b}{2}$
（1）基本不等式成立的条件：____________。
（2）等号成立的条件：当且仅当__________时，等号成立。
（3）其中，__________叫做正数$a$，$b$的算术平均数，__________叫做正数$a$，$b$的几何平均数。

答案： $a ＞ 0,b ＞ 0$
@@$a = b$
@@$\frac{a + b}{2}$     $\sqrt{ab}$