《2025年赢在微点数学》

1.若$x＜\frac{2}{3}$，则$f(x)=3x + 1 + \frac{9}{3x - 2}$有（ ）
A.最大值 0
B.最小值 9
C.最大值 - 3
D.最小值 - 3

答案： C

2.已知正实数$a,b$满足$a + b = 2$，则$\frac{4}{b}+\frac{1}{a}$的最小值是（ ）
A.$\frac{7}{2}$
B.$\frac{9}{2}$
C. 5
D. 9

答案： B

3.已知$0＜x＜1$，则$\frac{1}{x}+\frac{4}{1 - x}$的最小值是________。

答案： 9

4.设$a＞0,b＞0$，且$5ab + b^{2}=1$，则$a + b$的最小值为________。

答案： $\frac{4}{5}$

【例4] (2023·广东茂名五校联考)《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一,其中记载:“今有邑,东西七里,南北九里,各中开门。出东门十五里有木,问出南门几何步而见木?”若一小城,如图中长方形所示,出东门1 200步有树,出南门750步能见到此树(注:1里=300步),则该小城的周长最小值为                  里。

答案： 【例4】$8\sqrt{10}$
 解析 设GF=x步，EF=y步，由△BEF∽△FGA得BE/FG=EF/GA，即1200/x=y/750，所以y=900000/x，故该小城的周长为2(2x+2y)=4(x+900000/x)≥2400√10（步）=$8\sqrt{10}$（里），当且仅当x=900000/x，即x=300√10时取等号，所以该小城的周长最小值为$8\sqrt{10}$里

【变式训练】（2024·广东名校联考）在中国，最早发现勾股定理的人是西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题。如果一个直角三角形的斜边长等于$2\sqrt{2}$，则当这个直角三角形的周长取得最大值时，其面积为（ ）
A.$\sqrt{2}$
B. 1
C. 2
D. 6

答案： C