《2025年赢在微点数学》

[例3]　（1）已知cos α = $\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin(β - α) = -$\frac{\sqrt{10}}{10}$，α，β均为锐角，则β = （ ）
A.$\frac{\pi}{12}$　　
　B.$\frac{\pi}{6}$　　
　C.$\frac{\pi}{4}$　　
　D.$\frac{\pi}{3}$

答案： C解析因为cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin(β−α)=−$\frac{\sqrt{10}}{10}$＜0，α，β均为锐角，所以sinα=$\sqrt{1−cos²α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，β−α∈(−$\frac{π}{2}$，0)，可得cos(β−α)=$\sqrt{1−sin²(β−α)}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sinβ=sin[(β−α)+α]=sin(β−α)cosα+cos(β−α)sinα=−$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以β=$\frac{π}{4}$。故选C。

（2）已知α，β∈(0，π)，且tan(α - β) = $\frac{1}{2}$，tan β = -$\frac{1}{7}$，则2α - β的值为________。

答案： −$\frac{3π}{4}$ 解析 因为tanα=tan[(α−β)+β]=$\frac{\tan(\alpha - \beta)+\tan\beta}{1-\tan(\alpha - \beta)\tan\beta}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{7}}{1+\frac{1}{2}\times\frac{1}{7}}$=$\frac{1}{3}$＞0，所以0＜α＜$\frac{π}{2}$。又tan2α=$\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$=$\frac{2\times\frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^{2}}$=$\frac{3}{4}$＞0，所以0＜2α＜$\frac{π}{2}$，所以tan(2α−β)=$\frac{\tan2\alpha-\tan\beta}{1+\tan2\alpha\tan\beta}$=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{1}{7}}{1-\frac{3}{4}\times\frac{1}{7}}$ = 1。因为tanβ=−$\frac{1}{7}$＜0，所以$\frac{π}{2}$＜β＜π，所以−π＜2α−β＜0，所以2α−β=−$\frac{3π}{4}$。

1. 若$\frac{\cos 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}$ - λ cos 10° = $\sqrt{3}$，则λ的值为（ ）
A.1　　　
　B.4　　　
　C.-1　
　D.2

答案： B 解析 因为$\frac{cos10°}{sin10°}$−λcos10°=$\sqrt{3}$，所以λ=$\frac{cos10°−\sqrt{3}sin10°}{sin10°cos10°}$=$\frac{2(\sin30^{\circ}\cos10^{\circ}-\cos30^{\circ}\sin10^{\circ})}{\frac{1}{2}\sin20^{\circ}}$=$\frac{2\sin20^{\circ}}{\frac{1}{2}\sin20^{\circ}}$ = 4。故选B。

2. （2024·九省适应性考试）已知θ∈($\frac{3\pi}{4}$，π)，tan 2θ = -4tan(θ + $\frac{\pi}{4}$)，则$\frac{1 + \sin 2\theta}{2\cos^{2}\theta + \sin 2\theta}$ = （ ）
A.$\frac{1}{4}$　　
　B.$\frac{3}{4}$　　
　C.1　　　
　D.$\frac{3}{2}$

答案： A解析因为tan2θ=−4tan(θ+$\frac{π}{4}$)，即$\frac{2\tan\theta}{1−\tan^{2}\theta}$=−4×$\frac{\tan\theta + 1}{1-\tan\theta}$，所以2tan²θ+5tanθ+2 = 0，解得tanθ=−$\frac{1}{2}$或tanθ=−2，又θ∈($\frac{3}{4}$π，π)，所以tanθ∈(−1，0)，所以tanθ=−$\frac{1}{2}$，$\frac{1+\sin2\theta}{2\cos^{2}\theta+\sin2\theta}$=$\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta+2\sin\theta\cos\theta}{2\cos^{2}\theta+2\sin\theta\cos\theta}$=$\frac{\tan^{2}\theta+2\tan\theta + 1}{2+2\tan\theta}$=$\frac{\tan\theta + 1}{2}$=$\frac{1}{4}$。故选A。

3. 已知sin α = $\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin β = $\frac{\sqrt{10}}{10}$，且α和β均为钝角，则α + β的值为 （ ）
A.$\frac{3\pi}{2}$　　　　　　　
　B.$\frac{5\pi}{4}$
C.$\frac{5\pi}{4}$和$\frac{7\pi}{4}$　　　　　
　D.$\frac{7\pi}{4}$

答案： D解析因为α和β均为钝角，cosα=−$\sqrt{1−sin²α}$=−$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosβ=−$\sqrt{1−sin²β}$=−$\frac{3\sqrt{10}}{10}$。cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×(−$\frac{3\sqrt{10}}{10}$)−$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$。由α和β均为钝角，得π＜α+β＜2π，所以α+β=$\frac{7π}{4}$。故选D。

[例4]　设函数f(x) = sin x + cos x(x∈R)。
（1）求函数y = $[f(x + \frac{\pi}{2})]^{2}$的最小正周期；
（2）求函数y = f(x)f(x - $\frac{\pi}{4}$)在[0，$\frac{\pi}{2}$]上的最大值。

答案： 解
(1)因为f(x)=sinx+cosx，所以f(x+$\frac{π}{2}$)=sin(x+$\frac{π}{2}$)+cos(x+$\frac{π}{2}$)=cosx−sinx，所以y=[f(x+$\frac{π}{2}$)]²=(cosx−sinx)²=1−sin2x。所以函数y=[f(x+$\frac{π}{2}$)]²的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π。
(2)f(x−$\frac{π}{4}$)=sin(x−$\frac{π}{4}$)+cos(x−$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$sinx，所以y=f(x)f(x−$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$sinx(sinx+cosx)=$\sqrt{2}$(sinxcosx+sin²x)=$\sqrt{2}$($\frac{1}{2}$sin2x−$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$)=sin(2x−$\frac{π}{4}$)+$\frac{\sqrt{2}}{2}$。当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x−$\frac{π}{4}$∈[−$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，所以当2x−$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{3π}{8}$时，函数y=f(x)f(x−$\frac{π}{4}$)在[0，$\frac{π}{2}$]上取得最大值，且y_{max}=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$。