《2025年赢在微点数学》

1. “好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的。已知某品牌商品靠广告销售的收入$R$与广告费$A$之间满足关系$R = a\sqrt{A}$（$a$为常数），广告效应为$D = a\sqrt{A}-A$。那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________（用常数$a$表示）。

答案： $\frac{1}{4}a^2$@@解析：令$t = \sqrt{A}(t\geq0)$，则$A = t^2$，所以$D = at - t^2=-(t - \frac{1}{2}a)^2+\frac{1}{4}a^2$。所以当$t=\frac{1}{2}a$，即$A=\frac{1}{4}a^2$时，D取得最大值。

2. （2024·安徽安庆联考）海洋渔业发展迅猛，我国自主研发的大型海洋养殖船纷纷下海。网箱养殖需要人工创造适合鱼类生长的环境，研究人员发现在一段时间内，某网箱内氧的含量$H$（单位：mg/L）与时间$t$（单位：h）之间的关系为$H = H_{0}e^{-mt}$（$H_{0}$为网箱内氧的初始含量且$H_{0}＞0$，$m$为参数），且经过$20\text{ h}$后，网箱内氧的含量减少$\frac{61}{125}H_{0}$。若当网箱内氧的含量低于初始含量的$\frac{2}{5}$时需要人工增氧，则该网箱最长大约经过多长时间后需要人工增氧（参考数据：$\lg 2\approx0.3$） （ ）


A. $39\text{ h}$
B. $33\text{ h}$
C. $31\text{ h}$
D. $27\text{ h}$

答案： D@@解析：由题意可知当$t = 20$时，$H = H_0e^{-20m}=H_0-\frac{61}{125}H_0=\frac{64}{125}H_0$，所以$e^{-20m}=\frac{64}{125}$，则$-20m=\ln\frac{64}{125}$，得$m = -\frac{1}{20}\ln\frac{64}{125}$。设经过x h后需要人工增氧，则$\frac{2}{5}H_0 = H_0e^{-mx}$，$e^{-mx}=\frac{2}{5}$，所以$-mx=\ln\frac{2}{5}$，所以$x\cdot\frac{1}{20}\ln\frac{64}{125}=\ln\frac{2}{5}$，解得$x\approx27$，所以最长大约经过27h后需要人工增氧。故选D。

【例4】一种药在病人血液中的量保持$1 500\text{ mg}$以上才有疗效，而低于$500\text{ mg}$病人就有危险。现给某病人静脉注射了这种药$2 500\text{ mg}$，如果药在血液中以每小时$20\%$的比例衰减，为了保持疗效，那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为（附：$\lg 2\approx0.3010$，$\lg 3\approx0.4771$，精确到$0.1\text{ h}$） （ ）
A. $4.2\text{ h}$
B. $2.3\text{ h}$
C. $8.8\text{ h}$
D. $7.2\text{ h}$

答案： B@@解析：设病在病人注射这种药经过x h后再次向病人注射这种药，则血液中的含药量y（单位：mg）与注射后的时间x的关系式为$y = 2500(1 - 20\%)^x$，由题意可得$2500(1 - 20\%)^x＞1500$，整理可得$(\frac{4}{5})^x＞\frac{3}{5}$，所以$\log_{\frac{4}{5}}(\frac{4}{5})^x＜\log_{\frac{4}{5}}\frac{3}{5}$，即$x ＜ \log_{\frac{4}{5}}\frac{3}{5}$。由$\log_{\frac{4}{5}}\frac{3}{5}=\log_{\frac{8}{10}}\frac{6}{10}=\frac{\lg\frac{6}{10}}{\lg\frac{8}{10}}=\frac{\lg6 - 1}{\lg8 - 1}=\frac{\lg2+\lg3 - 1}{3\lg2 - 1}\approx\frac{0.3010 + 0.4771 - 1}{3×0.3010 - 1}\approx2.3$，所以$x ＜ 2.3$，故从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为2.3h，才能保持疗效。故选B。