《2025年赢在微点数学》

【典例 2】 已知$a,b,c$都是非负实数，求证：$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geqslant\sqrt{2}(a + b + c)$。

答案： 证明 由$\sqrt{a²+b²/2}$≥$\frac{a + b}{2}$，得$\sqrt{a²+b²}$≥$\sqrt{2}$/2(a+b)，同理得$\sqrt{b²+c²}$≥$\sqrt{2}$/2(b+c),$\sqrt{c²+a²}$≥$\sqrt{2}$/2(c+a),相加可得$\sqrt{a²+b²}$+$\sqrt{b²+c²}$+$\sqrt{c²+a²}$≥$\sqrt{2}$/2(a+b)+$\sqrt{2}$/2(a+b)+$\sqrt{2}$/2(a+b)=$\sqrt{2}$(a+b+c)
当且仅当\(a = b = c\)时等号成立。

(2)已知$x,y$均为正实数，且$\frac{1}{x + 2}+\frac{1}{y + 2}=\frac{1}{6}$，则$x + y$的最小值为________。

答案： 20

【典例 1】（多选题）设正实数$a,b$满足$a + b = 1$，则（ ）
A.$\sqrt{ab}$有最大值$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{a + 2b}+\frac{1}{2a + b}$有最小值 3
C.$a^{2}+b^{2}$有最小值$\frac{1}{2}$
D.$\sqrt{a}+\sqrt{b}$有最大值$\sqrt{2}$

答案： ACD

二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

答案：