《2025年赢在微点数学》

[例4] 设函数$f(x)=\begin{cases}\log_{2}(6 - x),x ＜ 1,\\2^{x - 1},x\geqslant 1,\end{cases}$则$f(-2)+f(\log_{2}6)=$ （ ）
A. 2
B. 6
C. 8
D. 10

答案： B 解析 根据题意得f(-2)=log₂8 = 3，$f(log₂6)=2^{log₂6 - 1}=3，$所以f(-2)+f(log₂6)=6。故选B。

[例5] （1）（2024·唐山模拟）设函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}+1,x\leqslant 0,\\\lg x,x ＞ 0\end{cases}$若$f(a)=0$，则$a =$ ________。

答案： 1 解析 当a≤0时，a² + 1≥1≠0(舍去)；当a ＞ 0时，lg a = 0，a = 1，故实数a的值为1。

（2）设函数$f(x)=\begin{cases}x + 1,x ＜ 0,\\2^{x},x ＞ 0,\end{cases}$则满足$f(x)+f(x-\frac{1}{2})＞1$的$x$的取值范围是 ________。

答案： $(-\frac{1}{4},+∞)$ 解析 由题意得，当$x＞\frac{1}{2}$时，2^x + 2^{x - \frac{1}{2}}＞1恒成立，即$x＞\frac{1}{2}$满足题意；当0 ＜ x≤$\frac{1}{2}$时，2^x+(x - $\frac{1}{2}$)+1＞1恒成立，即0 ＜ x≤$\frac{1}{2}$满足题意；当x≤0时，由x + 1+(x - $\frac{1}{2}$)+1=2x+$\frac{3}{2}$＞1，得$x＞-\frac{1}{4}$，即$-\frac{1}{4}＜x≤0$。综上，x的取值范围是$(-\frac{1}{4},+∞)$。

1.（2024·潍坊市统考）已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin x,x\geqslant\sin x,\\x,x ＜ \sin x,\end{cases}$则$f(\frac{\pi}{6})=$ （ ）
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\pi}{3}$

答案： B 解析 因为$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{\pi}{6}＞\sin\frac{\pi}{6}$，所以$f(\frac{\pi}{6})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$。故选B。

2.（2023·广东省一模）已知函数$f(x)=\begin{cases}2^{x},x\geqslant 0,\\-(\frac{1}{2})^{x},x ＜ 0,\end{cases}$若$f(a)＜f(6 - a)$，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $(-3,+\infty)$
B. $(-\infty,-3)$
C. $(3,+\infty)$
D. $(-\infty,3)$

答案： D 解析 显然f(x)在R上单调递增，故f(a)＜f(6 - a)可化为a ＜ 6 - a，解得a ＜ 3。故选D。

3. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x + 1,x\leqslant a,\\2^{x},x ＞ a,\end{cases}$若$f(x)$的值域是$\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $(-\infty,0]$
B. $[0,1]$
C. $[0,+\infty)$
D. $(-\infty,1]$

答案：
B 解析 因为函数$y = 2^x$是R上的增函数，且值域为(0,+∞)，函数y = x + 1是R上的增函数，且值域也是R，所以要使函数f(x)的值域为R，需满足$2^a≤a + 1。$在同一平面直角坐标系中作出函数$y = 2^x$与y = x + 1的图象，如图所示，由图可知，当0≤x≤1时，$2^x≤x + 1，$所以实数a的取值范围为[0,1]。故选B。