《2025年赢在微点数学》

1. 已知向量a，b满足|a| = 2，|b| = $\sqrt{3}$，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于（ ）
A. 1
B. $\sqrt{3}$
C. 3
D. 3$\sqrt{3}$

答案： C 解析 由题意可得$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\cdot |\boldsymbol{b}|\cos 30^{\circ }=2\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3$。故选 C。

2. 已知向量a=(0，2)，b=(2$\sqrt{3}$，x)，且a与b的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则x =（ ）
A. -2
B. 2
C. 1
D. -1

答案： B 解析 由题意，得$\cos \frac{\pi}{3}=\frac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+12}}=\frac{1}{2}$，所以$x＞0$，且$2x=\sqrt{x^{2}+12}$，解得$x = 2$。故选 B。

3. 已知向量a，b满足|a| = 1，|b| = $\sqrt{3}$，|a - 2b| = 3，则a·b =（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2

答案： C 解析 将$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}| = 3$两边平方，得$\boldsymbol{a}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+4\boldsymbol{b}^{2}=9$。因为$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$，所以$1 - 4\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+12 = 9$，解得$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=1$。故选 C。

4. 已知平面向量a，b的夹角为$\frac{\pi}{3}$，且|a| = 2，b = (-1，$\sqrt{3}$)，则a在b方向上的投影向量为（ ）
A. ($\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$)
B. (-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$)
C. (-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$)
D. ($\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$)

答案： C 解析 $\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$方向上的投影向量为$|\boldsymbol{a}|\cos \theta \cdot \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=2\times \cos \frac{\pi}{3}\times \frac{(-1,\sqrt{3})}{2}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$。故选 C。

5. 已知向量a=(m，3)，b=(1，m + 1)。若a⊥b，则m =____。

答案： $-\frac{3}{4}$ 解析 由$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，可得$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=(m,3)\cdot (1,m + 1)=m+3m + 3 = 0$，所以$m=-\frac{3}{4}$。

1.在平行四边形ABCD中，AB = 2，AD = 1，∠BAD = 60°，E是BC的中点，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AE}=$（ ）
A.3　　　
　B.4　　　
　C.5　　
　D.6

答案： 1.D 解析 由题意知$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AE}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}^{2}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}^{2}=2^{2}+\frac{3}{2}\times2\times1\times\cos60^{\circ}+\frac{1}{2}\times1^{2}=6$。故选D。

2.（2023·全国乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=$（ ）
A.$\sqrt{5}$　　
　B. 3　　
　C.$2\sqrt{5}$　
　D. 5

答案：
2.B 解析 解法一：以$\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\}$为基底，可知$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}| = 2$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$，则$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AD}^{2}=-1 + 4 = 3$。故选B。
解法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则$E(1,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$，可得$\overrightarrow{EC}=(1,2)$，$\overrightarrow{ED}=(-1,2)$，所以$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=-1 + 4 = 3$。

故选B。
解法三：由题意可得$ED = EC=\sqrt{5}$，$CD = 2$，在$\triangle CDE$中，由余弦定理可得$\cos\angle DEC=\frac{DE^{2}+CE^{2}-DC^{2}}{2DE\cdot CE}=\frac{5 + 5 - 4}{2\times\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$，所以$\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{ED}=|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{ED}|\cos\angle DEC=\sqrt{5}\times\sqrt{5}\times\frac{3}{5}=3$。故选B。

3.（教材改编）若向量a，b满足|a| = 2，(a + 2b)·a = 6，则向量b在向量a上的投影向量的模为（ ）
A.1　　　
　B.$\frac{1}{2}$　　
　C.$\frac{3}{2}$　　
　D.3

答案： 3.B 解析 因为$(a + 2b)\cdot a = a^{2}+2a\cdot b = 4 + 2a\cdot b = 6$，所以$a\cdot b = 1$，所以$|b|\cos\langle a,b\rangle=\frac{a\cdot b}{|a|}=\frac{1}{2}$。故选B。

4.（教材改编）已知|a| = 2，向量b在向量a上的投影向量为 - 2a，则a·b =（ ）
A.4　　　
　B.8　　　
　C. - 8　
　D. - 4

答案： 4.C 解析 因为向量$b$在向量$a$上的投影向量为$-2a$，所以$(\frac{a\cdot b}{|a|})\frac{a}{|a|}=-2a$，即$(\frac{a\cdot b}{|a|^{2}} + 2)a = 0$，因为$|a|\neq0$，所以$\frac{a\cdot b}{|a|^{2}}+2 = 0$，即$\frac{a\cdot b}{4}=-2$，所以$a\cdot b=-8$。故选C。

5.（2024·潍坊高三统考）如图所示，A，B，C，D是正弦函数y = sin x图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=$________。

答案：
5.$12\pi^{2}$ 解析 由题图知，$A(\frac{\pi}{2},1)$，$B(\frac{3\pi}{2},-1)$，$C(\frac{5\pi}{2},1)$，$D(\frac{7\pi}{2},-1)$，所以$\overrightarrow{OA}=(\frac{\pi}{2},1)$，$\overrightarrow{OB}=(\frac{3\pi}{2},-1)$，$\overrightarrow{OC}=(\frac{5\pi}{2},1)$，$\overrightarrow{OD}=(\frac{7\pi}{2},-1)$，所以$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(2\pi,0)$，$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=(6\pi,0)$，所以$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=2\pi\times6\pi+0\times0 = 12\pi^{2}$。

【例1】（2023·新高考Ⅱ卷）已知向量a，b满足|a - b| = $\sqrt{3}$，|a + b| = |2a - b|，则|b| = ________。

答案： 【例1】$\sqrt{3}$ 解析 由$|a + b| = |2a - b|$，得$a^{2}=2a\cdot b$。由$|a - b|=\sqrt{3}$，得$a^{2}-2a\cdot b + b^{2}=3$，即$b^{2}=3$，$|b|=\sqrt{3}$。