《2025年赢在微点数学》

【例2】（1）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，若$\overrightarrow{OA}$绕点O逆时针旋转60°得到向量$\overrightarrow{OB}$，则$\overrightarrow{OB}=$（ ）
A. (0,1)
B. (1,0)
C. $(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$
D. $(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$

答案： [例2]
(1)A解析　因为$\overrightarrow{OA}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$，所以$\overrightarrow{OA}$与x轴的夹角为30°，依题意，向量$\overrightarrow{OB}$与x轴的夹角为90°，则点B在y轴正半轴上，且$|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OA}| = 1$，所以点B(0,1)，则$\overrightarrow{OB}=(0,1)$。故选A。

（2）若$\overrightarrow{AB}=(5,-3),\overrightarrow{AC}=(-1,7),\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB},\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$，则$\overrightarrow{MN}=$（ ）
A. (6,-10)
B. (-6,10)
C. (3,-5)
D. (-3,5)

答案： [例2]
(2)D解析　由$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NC}$知，M，N分别是线段AB，AC的中点，所以$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=(-3,5)$。故选D。

【变式训练】已知点M(-2,7),N(10,-2)，点P是线段MN上的点，且$\overrightarrow{PN}=-2\overrightarrow{PM}$，则点P的坐标为（ ）
A. (2,4)
B. (-14,16)
C. (6,1)
D. (22,-11)

答案： [变式训练]A解析　设P(x,y)，则$\overrightarrow{PN}=(10 - x,-2 - y)$，$\overrightarrow{PM}=(-2 - x,7 - y)$，由$\overrightarrow{PN}=-2\overrightarrow{PM}\Rightarrow\begin{cases}10 - x = - 2(-2 - x)\\-2 - y = - 2(7 - y)\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$，故选A。

【例3】（1）已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2),\boldsymbol{b}=(2,-2),\boldsymbol{c}=(m,-1)$，若$\boldsymbol{c}//(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，则m等于（ ）
A. -2
B. -1
C. $-\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： 关键能力.突破
[例3]
(1)A解析　因为$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol{b}=(2,-2)$，所以$2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(4,2)$，又$\boldsymbol{c}=(m,-1)$，$\boldsymbol{c}//(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，所以$2m + 4 = 0$，解得$m = - 2$。故选A。

（2）已知向量$\overrightarrow{OA}=(k,12),\overrightarrow{OB}=(4,5),\overrightarrow{OC}=(-k,10)$，且A，B，C三点共线，则k = _______。

答案： 关键能力.突破
[例3]
(2)$-\frac{2}{3}$解析　由题意，得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(4 - k,-7)$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-2k,-2)$。因为A，B，C三点共线，所以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$共线，所以$-2\times(4 - k)=-7\times(-2k)$，解得$k = -\frac{2}{3}$。

【变式训练】（1）（2024·沈阳质检）已知向量$\boldsymbol{a}=(\cos\alpha,-2),\boldsymbol{b}=(\sin\alpha,1)$，且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha)$等于_______。

答案：
(1)3解析　因为$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，所以$\cos\alpha=-2\sin\alpha$，$\tan\alpha=-\frac{1}{2}$，所以$\tan(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{1 - \tan\alpha}{1 + \tan\alpha}=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3$。

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，$C=\frac{\pi}{3}$，若$\boldsymbol{m}=(c - \sqrt{6},a - b),\boldsymbol{n}=(a - b,c + \sqrt{6})$，且$\boldsymbol{m}//\boldsymbol{n}$，则△ABC的面积为（ ）
A. 3
B. $\frac{9\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D. $3\sqrt{3}$

答案： [变式训练]
(2)C解析　因为$\boldsymbol{m}=(c-\sqrt{6},a - b)$，$\boldsymbol{n}=(a - b,c+\sqrt{6})$，且$\boldsymbol{m}//\boldsymbol{n}$，所以$(a - b)^2=(c-\sqrt{6})(c+\sqrt{6})$，化为$a^{2}+b^{2}-c^{2}=2ab - 6$。所以$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{2ab - 6}{2ab}=\frac{1}{2}$，解得$ab = 6$。所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。故选C。