《2025年赢在微点数学》

[例1]　(2024·湖南衡阳三模)已知函数$f(x)=\frac{2}{x}+\ln x + a$。
　(1)当$a = 0$时，求$f(x)$的极值；
　(2)若对任意的$x\in[1,e^{2}]$，$f(x)\leq0$恒成立，求实数$a$的取值范围。

答案： 【例1】解
(1)当$a = 0$时，$f(x)=\frac{2}{x}+\ln x$，则$f'(x)=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x - 2}{x^{2}}$，当$0 ＜ x ＜ 2$时，$f'(x)＜0$，当$x ＞ 2$时，$f'(x)＞0$，列表如下。
|$x$|$(0,2)$|$2$|$(2,+\infty)$|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|$f'(x)$|$-$|$0$|$+$|
|$f(x)$|单调递减|$1+\ln 2$|单调递增|
所以$f(x)$的极小值为$f(2)=1+\ln 2$，无极大值。
(2)对任意的$x\in[1,e^{2}]$，$f(x)=\frac{2}{x}+\ln x + a\leqslant0$恒成立，即当$x\in[1,e^{2}]$时$a\leqslant-\frac{2}{x}-\ln x$恒成立。令$g(x)=-\frac{2}{x}-\ln x$，$x\in[1,e^{2}]$，则$a\leqslant g(x)_{\min}$。求导得$g'(x)=\frac{2}{x^{2}}-\frac{1}{x}=\frac{2 - x}{x^{2}}$，当$1\leqslant x ＜ 2$时，$g'(x)＞0$，当$2 ＜ x\leqslant e^{2}$时，$g'(x)＜0$，所以$g(x)$在$[1,2]$上单调递增，在$(2,e^{2}]$上单调递减。因为$g(1)= - 2$，$g(e^{2})=-\frac{2}{e^{2}}-\ln e^{2}=-\frac{2}{e^{2}}-2$，$g(1)＞g(e^{2})$，所以$g(x)_{\min}=g(e^{2})=-\frac{2}{e^{2}}-2$。所以$a\leqslant g(x)_{\min}=-\frac{2}{e^{2}}-2$，即实数$a$的取值范围为$(-\infty,-\frac{2}{e^{2}}-2]$。