《2025年赢在微点数学》

[变式训练] （1）函数$f(x)=\frac{1}{\ln(x - 1)}+\sqrt{3 - x}$的定义域为 （ ）
A. $(1,3]$
B. $(1,2)\cup(2,3]$
C. $(1,3)\cup(3,+\infty)$
D. $(-\infty,3)$

答案： B 解析 由题意知$\begin{cases}x - 1＞0\\x - 1≠1\\3 - x≥0\end{cases}$，所以1 ＜ x ＜ 2或2 ＜ x≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]。故选B。

（2）已知函数$f(x)$的定义域为$[-1,2]$，则函数$g(x)=f(2x)+\sqrt{1 - 2^{x}}$的定义域为 （ ）
A. $[0,1]$
B. $[-1,0]$
C. $[-\frac{1}{2},1]$
D. $[-\frac{1}{2},0]$

答案： D 解析 由题意得$\begin{cases}-1≤2x≤2\\1 - 2^x≥0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{2}≤x≤0$，即函数g(x)的定义域为$[-\frac{1}{2},0]$。故选D。

[例2] （1）已知$f(1 - \sin x)=\cos^{2}x$，则$f(x)=$ ________；

答案： 2x - x²，x∈[0,2] 解析 (换元法)设1 - sin x = t，t∈[0,2]，则sin x = 1 - t，因为f(1 - sin x)=cos²x = 1 - sin²x，所以f(t)=1-(1 - t)² = 2t - t²，t∈[0,2]。即f(x)=2x - x²，x∈[0,2]。

（2）已知$f(x+\frac{1}{x})=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$，则$f(x)=$ ________；

答案： x² - 2，x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) 解析 (配凑法)因为$f(x+\frac{1}{x})=x²+\frac{1}{x²}=(x+\frac{1}{x})² - 2$，所以f(x)=x² - 2，x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)。

（3）已知$f(x)$是一次函数且$3f(x + 1)-2f(x - 1)=2x + 17$，则$f(x)=$ ________。

答案： 2x + 7 解析 待定系数法：因为f(x)是一次函数，可设f(x)=ax + b(a≠0)，所以3[a(x + 1)+b]-2[a(x - 1)+b]=2x + 17，即ax+(5a + b)=2x + 17，所以$\begin{cases}a = 2\\5a + b = 17\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b = 7\end{cases}$，所以f(x)的解析式是f(x)=2x + 7。

[例3] （多选题）（2023·新高考Ⅰ卷）已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$，则 （ ）
A. $f(0)=0$
B. $f(1)=0$
C. $f(x)$是偶函数
D. $x = 0$为$f(x)$的极小值点

答案： ABC 解析 对于选项A，令x = 0，y = 0，得f
(0)=0，所以A项正确；对于选项B，令x = 1，y = 1，得f(1×1)=1²×f
(1)+1²×f
(1)=2f
(1)⇒f
(1)=0，所以B项正确；对于选项C，令x = -1，y = -1，得f[(-1)×(-1)]=(-1)²×f(-1)+(-1)²×f(-1)=2f(-1)⇒f(-1)=0，再令x = -1，y = x，得f[(-1)×x]=x²×f(-1)+(-1)²×f(x)⇒f(-x)=f(x)，所以C项正确；对于选项D，由于f
(0)=0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x = 0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，所以D项错误。故选ABC。

1. 已知$f(\sqrt{x}+1)=x - 2\sqrt{x}$，则$f(x)=$ ________。

答案： x² - 4x + 3(x≥1) 解析 解法一(换元法)：令t=$\sqrt{x + 1}$，则t≥1，x=(t - 1)²，代入原式有f(t)=(t - 1)² - 2(t - 1)=t² - 4t + 3，所以f(x)=x² - 4x + 3(x≥1)。
解法二(配凑法)：f($\sqrt{x + 1}$)=x + 2$\sqrt{x + 1}$ - 4$\sqrt{x}$ - 4 + 3=($\sqrt{x + 1}$)² - 4($\sqrt{x + 1}$) + 3，因为$\sqrt{x + 1}$≥1，所以f(x)=x² - 4x + 3(x≥1)。

2. 已知$f(x)+3f(-x)=2x + 1$，则$f(x)=$ ________。

答案： $-x+\frac{1}{4}$ 解析 由已知得f(-x)+3f(x)=-2x + 1，解方程组$\begin{cases}f(x)+3f(-x)=2x + 1\\f(-x)+3f(x)=-2x + 1\end{cases}$，得$f(x)=-x+\frac{1}{4}$。

3.（2024·东北三省四市联合体模拟）已知对于每一对正实数$x$，$y$，函数$f(x)$满足：$f(x)+f(y)=f(x + y)-xy - 1$，若$f(1)=1$，则满足$f(n)=n(n\in\mathbf{N})$的$n$的个数是 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： A 解析 令x = 1，则f(x + 1)=f(x)+x + 2，即f(x + 1)-f(x)=x + 2，所以f(x)-f(x - 1)=x + 1，f(x - 1)-f(x - 2)=x，…，f
(2)-f
(1)=3，累加得f(x)-f
(1)=$\frac{x² + 3x - 4}{2}$，则$f(x)=\frac{x(x + 3)}{2}-1$，所以$f(n)=\frac{n(n + 3)}{2}-1$，又f(n)=n，所以解得n = -2或n = 1，又n∈N，所以n = 1。故选A。