《2025年赢在微点数学》

1. 设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是不共线的两个向量，已知$\overrightarrow{BA} = \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC} = 4\boldsymbol{a} - 4\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD} = -\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$，则　　(　　　)
A. $A$，$B$，$D$三点共线
B. $B$，$C$，$D$三点共线
C. $A$，$B$，$C$三点共线
D. $A$，$C$，$D$三点共线

答案： 1. D 解析 因为$\overrightarrow{BA}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{BC}=4\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD}=-\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$，所以$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=3\boldsymbol{a}-6\boldsymbol{b}=-3(-\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})=-3\overrightarrow{CD}$，所以$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CD}$共线，又$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{CD}$有公共点C，所以A，C，D三点共线。故选D。

2. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$P$是$BN$上的一点，若$\overrightarrow{AP} = m\overrightarrow{AB} + \frac{2}{11}\overrightarrow{AC}$，则实数$m$的值为________。
　　　　　　　　　　　　　

答案： 2. $\frac{5}{11}$ 解析 注意到N，P，B三点共线，因此有$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{11}\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AB}+\frac{6}{11}\overrightarrow{AN}$，从而$m+\frac{6}{11}=1$，所以$m=\frac{5}{11}$。

3. 如图，$\triangle ABC$中，点$M$是$BC$的中点，点$N$满足$\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，$AM$与$CN$交于点$D$，$\overrightarrow{AD} = \lambda\overrightarrow{AM}$，则$\lambda$等于　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{5}{6}$

答案： 3. C 解析 在$\triangle ABC$中，因为点M是BC的中点，所以$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，则$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AM}=\frac{\lambda}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{\lambda}{2}\overrightarrow{AC}$，又$\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，于是得$\overrightarrow{AD}=\frac{3\lambda}{4}\overrightarrow{AN}+\frac{\lambda}{2}\overrightarrow{AC}$，因为点C，D，N共线，则有$\frac{3\lambda}{4}+\frac{\lambda}{2}=1$，解得$\lambda=\frac{4}{5}$。故选C。

1. 平面向量基本定理
如果$e_1,e_2$是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量$a$，有且只有一对实数$\lambda_1,\lambda_2$，使$a =$________。若$e_1,e_2$不共线，把$\{e_1,e_2\}$叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。

答案： 不共线 $\lambda_1e_1 + \lambda_2e_2$

2. 平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，则
$a + b =$____________，$a - b =$__________，$\lambda a =$____________，$|a| =$____________。
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标。
②设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$\overrightarrow{AB}=$______，$|\overrightarrow{AB}| =$__________________。

答案：
(1)$(x_1 + x_2,y_1 + y_2)$ $(x_1 - x_2,y_1 - y_2)$ $(\lambda x_1,\lambda y_1)$ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2}$
(2)②$(x_2 - x_1,y_2 - y_1)$ $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

3. 平面向量共线的坐标表示
设$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，其中$b\neq0$，则$a// b\Leftrightarrow$____________。
[微点清] 当且仅当$x_2y_2\neq0$时，$a// b$与$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例。

答案： $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$