《2025年赢在微点数学》

【典例2】设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且$f(x + 2)= - f(x)$，当$0\leqslant x\leqslant1$时，$f(x)=x$，则$f(7.5)=$ 。
【

答案：
$-0.5$解析】解法一：由$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数且$f(x + 2)= - f(x)$，得$f(x + 1)=f((x - 1)+2)= - f(x - 1)=f(1 - x)$，故$f(x)$的图象关于$x = 1$对称，也关于原点对称，所以$f(x)$的周期$T = 4\times(1 - 0)=4$，其图象如图。

所以$f(7.5)=f(8 - 0.5)=f(-0.5)= - f(0.5)= - 0.5$。
解法二：由$f(x + 2)= - f(x)$，得$f(x + 4)= - f(x + 2)=f(x)$，所以$f(x)$的周期$T = 4$。以下同解法一。
【答案】$-0.5$

【训练】（2024·东北三省三校联考）设函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(x + 1)$为奇函数，$f(x + 2)$为偶函数，当$x\in[1,2]$时，$f(x)=ax^2 + b$。若$f(0)+f(3)=6$，则$f(\frac{9}{2})=$（ ）
A. $-\frac{9}{4}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. $\frac{7}{4}$
D. $\frac{5}{2}$

答案： D

1. 幂函数
（1）定义：函数               叫做幂函数，其中$x$是自变量，$\alpha$是常数。
（2）常见的五种幂函数的图象

（3）性质
①幂函数在$(0, +\infty)$上都有定义。
②当$\alpha＞0$时，幂函数的图象都过点$(1,1)$和$(0,0)$，且在$(0, +\infty)$上单调递增。
③当$\alpha＜0$时，幂函数的图象都过点$(1,1)$，且在$(0, +\infty)$上单调递减。

答案： $y = x^{\alpha}$

2. 二次函数的图象和性质

答案：
$y = x^{\alpha}$  $\left[\frac{4ac - b^{2}}{4a}, +\infty\right)$  $\left(-\infty, \frac{4ac - b^{2}}{4a}\right]$   $\left[-\frac{b}{2a}, +\infty\right)$   $\left(-\infty, -\frac{b}{2a}\right]$