《2025年赢在微点数学》

1. $\sin15^{\circ}\cos45^{\circ}+\sin105^{\circ}\sin135^{\circ}=$ （ ）
A. $\frac{1}{2}$　　
　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　
　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　
　D. 1

答案： C 解析 因为$\sin105^{\circ}=\sin(90^{\circ}+15^{\circ})=\cos15^{\circ}$，$\sin135^{\circ}=\sin(180^{\circ}-45^{\circ})=\sin45^{\circ}$，所以$\sin15^{\circ}\cos45^{\circ}+\sin105^{\circ}\sin135^{\circ}=\sin15^{\circ}\cos45^{\circ}+\cos15^{\circ}\sin45^{\circ}=\sin(15^{\circ}+45^{\circ})=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。故选 C。

2.（2024·武汉武昌区质检）已知 $\tan\alpha=\frac{1}{2}$，则 $\frac{\cos\alpha}{\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})}=$ （ ）
A. $-2\sqrt{2}$　
　B. $-\sqrt{2}$　
　C. $\sqrt{2}$　　
　D. $2\sqrt{2}$

答案： D 解析 因为$\tan\alpha=\frac{1}{2}$，所以$\frac{\cos\alpha}{\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})}=\frac{\cos\alpha}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)}=\frac{\sqrt{2}}{1 - \tan\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$。故选 D。

3.（2023·新高考Ⅱ卷）已知 $\alpha$ 为锐角，$\cos\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，则 $\sin\frac{\alpha}{2}=$ （ ）
A. $\frac{3-\sqrt{5}}{8}$　　　　　　
　B. $\frac{-1+\sqrt{5}}{8}$
C. $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$　　　　　　
　D. $\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$

答案： D 解析 $\cos\alpha=1 - 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$，而$\alpha$为锐角，解得$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{8}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^{2}}{16}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$。故选 D。

4. 若 $\tan\theta = 2$，则 $\tan(\theta+\frac{\pi}{4})=$________；$\tan2\theta=$________。

答案： $-3$ $-\frac{4}{3}$ 解析 $\tan(\theta+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\theta+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\theta\tan\frac{\pi}{4}}=\frac{2 + 1}{1 - 2}=-3$，$\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}=\frac{2\times2}{1 - 2^{2}}=-\frac{4}{3}$。

5. 若函数 $f(x)=A\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 的一个零点为 $\frac{\pi}{3}$，则 $A=$________；$f(\frac{\pi}{12})=$________。

答案： $1$ $-\sqrt{2}$ 解析 依题意，得$f(\frac{\pi}{3})=A\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\times\frac{1}{2}=0$，解得$A = 1$，所以$f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin(x-\frac{\pi}{3})$，所以$f(\frac{\pi}{12})=2\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{3})=-\sqrt{2}$。

[例1]　　(1)在 $\triangle ABC$ 中，$C = 120^{\circ}$，$\tan A+\tan B=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则 $\tan A\tan B$ 的值为 （ ）
A. $\frac{1}{4}$　　
　B. $\frac{1}{3}$　　
　C. $\frac{1}{2}$　　
　D. $\frac{5}{3}$

答案： B 解析 在$\triangle ABC$中，因为$C = 120^{\circ}$，所以$\tan C=-\sqrt{3}$。因为$A + B=\pi - C$，所以$\tan(A + B)=-\tan C=\sqrt{3}$，所以$\tan A+\tan B=\sqrt{3}(1 - \tan A\tan B)$，又因为$\tan A+\tan B=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以$\tan A\tan B=\frac{1}{3}$。故选 B。

　(2)（2024·重庆市模拟）写出一个使等式 $(\sqrt{3}-\tan10^{\circ})\cos\alpha = 1$ 成立的角 $\alpha$ 的值______。

答案： $50^{\circ}$（答案不唯一，满足$\sin(90^{\circ}-\alpha)=\sin40^{\circ}$即可） 解析 由$(\sqrt{3}-\tan10^{\circ})\cos\alpha = 1$，得$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}-\tan10^{\circ}}$，所以$\cos\alpha=\frac{\cos10^{\circ}}{\sqrt{3}\cos10^{\circ}-\sin10^{\circ}}=\frac{\cos10^{\circ}}{2\sin(60^{\circ}-10^{\circ})}=\frac{\cos10^{\circ}}{2\sin50^{\circ}}$，即$2\sin50^{\circ}\cos\alpha=\cos10^{\circ}=\sin80^{\circ}$，又$2\sin50^{\circ}\cos\alpha=2\cos40^{\circ}\sin(90^{\circ}-\alpha)$，$\sin80^{\circ}=2\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}$，所以$\sin(90^{\circ}-\alpha)=\sin40^{\circ}$，则$\alpha = 50^{\circ}$满足题意。

[变式训练]　(1)求值：$\sqrt{3}\cos15^{\circ}-4\sin^{2}15^{\circ}\cos15^{\circ}=$ （ ）
A. $\frac{1}{2}$　　
　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　
　C. 1　　　
　D. $\sqrt{2}$

答案： D 解析 原式$=\sqrt{3}\cos15^{\circ}-2\sin15^{\circ}\cdot2\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}=\sqrt{3}\cos15^{\circ}-2\sin15^{\circ}\cdot\sin30^{\circ}=\sqrt{3}\cos15^{\circ}-\sin15^{\circ}=2\cos(15^{\circ}+30^{\circ})=2\cos45^{\circ}=\sqrt{2}$。故选 D。

　(2)满足等式 $(1 + \tan\alpha)(1 + \tan\beta)=2$ 的数组 $(\alpha,\beta)$ 有无穷多个，试写出一个这样的数组________。

答案： $(0,\frac{\pi}{4})$（答案不唯一） 解析 由$(1 + \tan\alpha)(1 + \tan\beta)=2$，得$1+\tan\beta+\tan\alpha+\tan\alpha\tan\beta = 2$，所以$\tan\beta+\tan\alpha=1 - \tan\alpha\tan\beta$，所以$\frac{\tan\beta+\tan\alpha}{1 - \tan\alpha\tan\beta}=1$，所以$\tan(\alpha+\beta)=1$，所以$\alpha+\beta=k\pi+\frac{\pi}{4}$，$k\in\mathbf{Z}$，所以$\alpha$可以为$0$，$\beta$可以为$\frac{\pi}{4}$（答案不唯一）。

[例2]　(1)（2024·山东威海模拟）已知 $\sin(\alpha-\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{5}}{5}$，则 $\cos(\frac{2\pi}{3}-2\alpha)=$ （ ）
A. $\frac{4}{5}$　　
　B. $-\frac{4}{5}$　
　C. $\frac{3}{5}$　　
　D. $-\frac{3}{5}$

答案： C 解析 因为$\sin(\alpha-\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以$\cos(\frac{2\pi}{3}-2\alpha)=\cos(2\alpha-\frac{2\pi}{3})=\cos[2(\alpha-\frac{\pi}{3})]=1 - 2\sin^{2}(\alpha-\frac{\pi}{3})=1 - 2\times(\frac{\sqrt{5}}{5})^{2}=\frac{3}{5}$。故选 C。