《2025年赢在微点数学》

[典例3] 如图，点P在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁上运动，则下列结论一定成立的是（ ）
A. 三棱锥A - A₁PD的体积大小与点P的位置有关
B. A₁P与平面ACD₁相交
C. 平面PDB₁⊥平面A₁BC₁
D. AP⊥D₁C

答案： C

[训练2] 如图，已知四棱锥S - ABCD的底面是边长为6的菱形，∠BAD = 60°，AC，BD相交于点O，SO⊥平面ABCD，SO = 4，E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________。

答案：
[训练2]　8　解析　如图,分别取$DC$，$SC$的中点$G$，$F$，连接$GE$，$GF$，$FE$。因为$E$是$BC$的中点，所以$GE// DB$，$FE// SB$，因为$GE\not\subset$平面$SBD$，$DB\subset$平面$SBD$，所以$GE//$平面$SBD$；因为$FE\not\subset$平面$SBD$，$SB\subset$平面$SBD$，所以$FE//$平面$SBD$，又$GE\cap FE = E$，所以平面$FEG//$平面$SBD$。因为$SO\perp$平面$ABCD$，所以$SO\perp AC$，又因为四边形$ABCD$是菱形，所以$DB\perp AC$，因为$SO\cap DB = O$，所以$AC\perp$平面$SBD$，则$AC\perp$平面$FEG$，故只要动点$P$在平面$FEG$内即可总保持$PE\perp AC$，又动点$P$在棱锥表面上运动，所以动点$P$的轨迹为$\triangle FEG$的周长。因为四边形$ABCD$是边长为$6$的菱形，且$\angle BAD = 60^{\circ}$，所以$BD = 6$，则$OB = OD = 3$，又$SO = 4$，所以$SB = SD = 5$，故$FE = FG=\frac{5}{2}$，$GE = 3$，所以$\triangle FEG$的周长为$8$。