《2025年赢在微点数学》

【例 1】（多选题）设函数
$f(x)$在 R 上可导，其导函
数为$f'(x)$，且函数$g(x)=$
$xf'(x)$的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是
（ ）
A. $f(x)$有两个极值点
B. $f(-2)$为函数的极小值
C. $f(x)$有两个极小值
D. $f(-1)$为$f(x)$的极小值

答案： BC 解析：由题图知，当 $x \in (-\infty, -2)$ 时，$g(x) ＞ 0$，所以 $f^{\prime}(x) ＜ 0$；当 $x \in (-2, 0)$ 时，$g(x) ＜ 0$，所以 $f^{\prime}(x) ＞ 0$；当 $x \in (0, 1)$ 时，$g(x) ＜ 0$，所以 $f^{\prime}(x) ＜ 0$；当 $x \in (1, +\infty)$ 时，$g(x) ＞ 0$，所以 $f^{\prime}(x) ＞ 0$。所以 $f(x)$ 在 $(-\infty, -2)$，$(0, 1)$ 上单调递减，在 $(-2, 0)$，$(1, +\infty)$ 上单调递增。故AD错误，BC正确。故选BC。

【例 2】 已知函数$f(x)=\ln x - ax(a\in R)$。
（1）当$a = \frac{1}{2}$时，求$f(x)$的极值；
（2）讨论函数$f(x)$在定义域内极值点的个数。

答案： 解：
(1)当 $a = \frac{1}{2}$ 时，$f(x) = \ln x - \frac{1}{2}x$，函数的定义域为 $(0, +\infty)$ 且 $f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} = \frac{2 - x}{2x}$，令 $f^{\prime}(x) = 0$，得 $x = 2$，于是当 $x$ 变化时，$f^{\prime}(x)$，$f(x)$ 的变化情况如下表： | $x$ | $(0, 2)$ | $2$ | $(2, +\infty)$ | | ---- | ---- | ---- | ---- | | $f^{\prime}(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | | $f(x)$ | 单调递增 | $\ln 2 - 1$ | 单调递减 | 故 $f(x)$ 在定义域上的极大值为 $f(x)_{极大值}=f(2)=\ln 2 - 1$，无极小值。
(2)由
(1)知，函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，$f^{\prime}(x) = \frac{1}{x} - a = \frac{1 - ax}{x}$。当 $a \leq 0$ 时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒成立，则函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当 $a ＞ 0$ 时，若 $x \in (0, \frac{1}{a})$，则 $f^{\prime}(x) ＞ 0$，若 $x \in (\frac{1}{a}, +\infty)$，则 $f^{\prime}(x) ＜ 0$，故函数在 $x = \frac{1}{a}$ 处有极大值。综上可知，当 $a \leq 0$ 时，函数 $f(x)$ 无极值点，当 $a ＞ 0$ 时，函数 $y = f(x)$ 有一个极值点。

【例 3】（1）(2024·福州质检)已知函数$f(x)=$
$x(x - c)^2$在$x = 2$处有极小值，则$c$的值为
（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 2 或 6

答案：
(1)A 解析：由题意，$f^{\prime}(x) = (x - c)^2 + 2x(x - c) = (x - c)(3x - c)$，则 $f^{\prime}(2) = (2 - c)(6 - c) = 0$，所以 $c = 2$ 或 $c = 6$。若 $c = 2$，则 $f^{\prime}(x) = (x - 2)(3x - 2)$，当 $x \in (-\infty, \frac{2}{3})$ 时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，$f(x)$ 单调递增；当 $x \in (\frac{2}{3}, 2)$ 时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x \in (2, +\infty)$ 时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，$f(x)$ 单调递增，函数 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处有极小值，满足题意；若 $c = 6$，则 $f^{\prime}(x) = (x - 6)(3x - 6)$，当 $x \in (-\infty, 2)$ 时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，$f(x)$ 单调递增；当 $x \in (2, 6)$ 时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x \in (6, +\infty)$ 时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，$f(x)$ 单调递增，函数 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处有极大值，不符合题意。综上，$c = 2$。故选A。 

（2）（多选题）(2023·新高考Ⅱ卷)若函数
$f(x)=a\ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}(a\neq0)$既有极大值又有极小值，则
（ ）
A. $bc＞0$ B. $ab＞0$
C. $b^2 + 8ac＞0$ D. $ac＜0$

答案：
(2)BCD 解析：函数 $f(x) = a\ln x + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}(a \neq 0)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$，求导得 $f^{\prime}(x) = \frac{a}{x} - \frac{b}{x^2} - \frac{2c}{x^3} = \frac{ax^2 - bx - 2c}{x^3}$，因为函数 $f(x)$ 既有极大值也有极小值，则函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上有两个变号零点，而 $a \neq 0$，因此方程 $ax^2 - bx - 2c = 0$ 有两个不等的正根 $x_1$，$x_2$，于是 $\begin{cases}\Delta = b^2 + 8ac ＞ 0 \\ x_1 + x_2 = \frac{b}{a} ＞ 0 \\ x_1x_2 = -\frac{2c}{a} ＞ 0\end{cases}$，即 $\begin{cases}b^2 + 8ac ＞ 0 \\ ab ＞ 0 \\ ac ＜ 0\end{cases}$，显然 $a^2bc ＜ 0$，即 $bc ＜ 0$，故选BCD。