《2025年赢在微点数学》

[变式训练]　如图,在四棱锥P - ABCD中，∠ABC = ∠ACD = 90°,∠BAC = ∠CAD = 60°,PA⊥平面ABCD,PA = 2,AB = 1。设M,N分别为PD,AD的中点。
(1)求证:平面CMN//平面PAB;
(2)求三棱锥P - ABM的体积。

答案： 解　
(1)证明:因为$M$，$N$分别为$PD$，$AD$的中点，所以$MN// PA$。因为$MN\not\subset$平面$PAB$，$PA\subset$平面$PAB$，所以$MN//$平面$PAB$。在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 60^{\circ}$，$CN = AN$，所以$\angle ACN = 60^{\circ}$。又$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$CN// AB$。因为$CN\not\subset$平面$PAB$，$AB\subset$平面$PAB$，所以$CN//$平面$PAB$。又$CN\cap MN = N$，所以平面$CMN//$平面$PAB$。
(2)由
(1)知，平面$CMN//$平面$PAB$，所以点$M$到平面$PAB$的距离等于点$C$到平面$PAB$的距离。由已知，$AB = 1$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$BC = \sqrt{3}$，所以$V_{P - ABM}=V_{M - PAB}=V_{C - PAB}=V_{P - ABC}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{3}\times2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

[例4]　如图,在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,P,Q分别为对角线BD,CD₁上的点，且$\frac{CQ}{QD₁}$ = $\frac{BP}{PD}$ = $\frac{2}{3}$。
(1)求证:PQ//平面A₁D₁DA;
(2)若R是AB上的点，$\frac{AR}{AB}$的值为多少时，能使平面PQR//平面A₁D₁DA？请给出证明。

答案：
解　
(1)证明:如图,连接$CP$并延长与$DA$的延长线交于$M$点，连接$MD_1$，因为四边形$ABCD$为正方形，所以$BC// AD$，故$\triangle PBC\sim\triangle PDM$，所以$\frac{CP}{PM}=\frac{BP}{PD}=\frac{2}{3}$，又因为$\frac{CQ}{QD_1}=\frac{BP}{PD}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{CQ}{QD_1}=\frac{CP}{PM}=\frac{2}{3}$，所以$PQ// MD_1$。又$MD_1\subset$平面$A_1D_1DA$，$PQ\not\subset$平面$A_1D_1DA$，故$PQ//$平面$A_1D_1DA$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)当$\frac{AR}{AB}$的值为$\frac{3}{5}$时，能使平面$PQR//$平面$A_1D_1DA$。如图,证明如下:因为$\frac{AR}{AB}=\frac{3}{5}$，即$\frac{BR}{RA}=\frac{2}{3}$，故$\frac{BR}{RA}=\frac{BP}{PD}$，所以$PR// DA$。又$DA\subset$平面$A_1D_1DA$，$PR\not\subset$平面$A_1D_1DA$，所以$PR//$平面$A_1D_1DA$。又由
(1)知$PQ//$平面$A_1D_1DA$，$PQ\cap PR = P$，$PQ$，$PR\subset$平面$PQR$，所以平面$PQR//$平面$A_1D_1DA$。