《2025年赢在微点数学》

（多选题）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项公式可能是（ ）
A. $a_{n}=(-1)^{n - 1}+1$
B. $a_{n}=\begin{cases}2,n为奇数,\\0,n为偶数\end{cases}$
C. $a_{n}=2\sin\frac{n\pi}{2}$
D. $a_{n}=\cos(n - 1)\pi+1$

答案： ABD 解析 对 n = 1,2,3,4 进行验证，$aₙ = 2sin\frac{nπ}{2}$不符合题意，其他均符合。故选 ABD。

在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{n}a_{n - 1}=a_{n - 1}+(-1)^{n}$（$n\geq2$，$n\in N^{*}$），则$\frac{a_{3}}{a_{5}}$的值是（ ）
A. $\frac{15}{16}$
B. $\frac{15}{8}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{3}{8}$

答案： C 解析 由已知，得 a₂ = 1 + (-1)² = 2，所以 2a₃ = 2 + (-1)³，$a₃ = \frac{1}{2}，$所以$ \frac{1}{2}a₄ = \frac{1}{2} + (-1)⁴，$a₄ = 3，所以 3a₅ = 3 + (-1)⁵，所以$ a₅ = \frac{2}{3}，$所以$ \frac{a₃}{a₅} = \frac{1}{2}×\frac{3}{2} = \frac{3}{4}。$故选 C。

若$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，且$S_{n}=\frac{n}{n + 1}$，则$\frac{1}{a_{5}}=$（ ）
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{6}{5}$
C. $\frac{1}{30}$
D. 30

答案： D 解析 因为当 n≥2 时，$aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = \frac{n}{n + 1} - \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n(n + 1)}，$所以$ \frac{1}{a₅} = 5×(5 + 1) = 30。$故选 D。

已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}+1$，则$a_{n}=$________。

答案： $\begin{cases}2,n = 1\\2n - 1,n≥2,n∈N^{*}\end{cases} $解析 当 n = 1 时，a₁ = S₁ = 2，当 n≥2 时，aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = n² + 1 - [(n - 1)² + 1] = 2n - 1，a₁ = 2 不满足上式。故$ aₙ = \begin{cases}2,n = 1\\2n - 1,n≥2,n∈N^{*}\end{cases}。$

已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=2$，$a_{n + 1}=\frac{a_{n}-1}{a_{n}}$，其前$n$项和为$S_{n}$，则$a_{2025}=$________，$S_{2025}=$________。

答案： $-1 \frac{2025}{2} $解析 因为 a₁ = 2，$aₙ₊₁ = \frac{aₙ - 1}{aₙ} = 1 - \frac{1}{aₙ}，$所以$ a₂ = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}，$a₃ = 1 - 2 = -1，a₄ = 1 + 1 = 2，…，所以数列{aₙ}是周期数列且周期为 3，所以 a₂₀₂₅ = a₆₇₅×₃ = a₃ = -1，$S₂₀₂₅ = 675(a₁ + a₂ + a₃) = 675×\frac{3}{2} = \frac{2025}{2}。$

1.若数列$\{ a_{n}\}$的前6项为$1,-\frac{2}{3},\frac{3}{5},-\frac{4}{7},\frac{5}{9},-\frac{6}{11}$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式可以为$a_{n}=$（ ）
A.$\frac{n}{n + 2}$
B.$-\frac{n}{2n - 1}$
C.$(-1)^{n}\frac{n}{2n - 1}$
D.$(-1)^{n + 1}\frac{n}{2n - 1}$

答案： D　解析　通过观察，发现分子等于各自的序号数，且奇数位置为正，偶数位置为负，故用$(-1)^{n + 1}$表示各项的正负。分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故第n项的分母为$2n - 1$，所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式可为$a_{n}=(-1)^{n + 1}\frac{n}{2n - 1}$，故选D。

2.数列$0.3,0.33,0.333,0.3333,\cdots$的一个通项公式是（ ）
A.$a_{n}=\frac{1}{9}(10^{n}-1)$
B.$a_{n}=\frac{1}{3}(10^{n}-1)$
C.$a_{n}=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{10^{n}})$
D.$a_{n}=\frac{3}{10}(10^{n}-1)$

答案： C　解析　根据题意，数列9，99，999，9999，…的第n项为$10^{n}-1$，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的第n项为$\frac{1}{10^{n}}\times(10^{n}-1)=1-\frac{1}{10^{n}}$，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是$a_{n}=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{10^{n}})$。故选C。

3.观察下列图形中小正方形的个数，则第$n$个图中的小正方形的个数$f(n)$为（ ）

A.$\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$
B.$\frac{(n + 2)(n + 3)}{2}$
C.$\frac{n}{2}$
D.$\frac{n^{2}+n}{2}$

答案： A　解析　由题意可得$f(1)=2 + 1$；$f(2)=3 + 2 + 1$；$f(3)=4 + 3 + 2 + 1$；$f(4)=5 + 4 + 3 + 2 + 1$；$f(5)=6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$；…，所以$f(n)=(n + 1)+n+(n - 1)+\cdots+1=\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$。故选A。

4.数列$\frac{1}{3},\frac{1}{8},\frac{1}{15},\frac{1}{24},\frac{1}{35},\cdots$的通项公式是$a_{n}=$________。

答案： $\frac{1}{n(n + 2)},n\in N^{*}$　解析　因为$a_{1}=\frac{1}{1\times(1 + 2)}=\frac{1}{3}$，$a_{2}=\frac{1}{2\times(2 + 2)}=\frac{1}{8}$，$a_{3}=\frac{1}{3\times(3 + 2)}=\frac{1}{15}$，$a_{4}=\frac{1}{4\times(4 + 2)}=\frac{1}{24}$，$a_{5}=\frac{1}{5\times(5 + 2)}=\frac{1}{35}$，通过观察，我们可以得到$a_{n}=\frac{1}{n(n + 2)},n\in N^{*}$。