《2025年赢在微点数学》

（2）(多选题)(2024·湖州模拟)函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，若$f(x + 1)$与$f(x - 1)$都是偶函数，则 （ ）
A. $f(x)$是偶函数
B. $f(x)$是奇函数
C. $f(x + 3)$是偶函数
D. $f(x)=f(x + 4)$

答案： CD

【例3】
（1）(2023·岳阳模拟)已知函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，且$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=2 - 2^{x}$，则$f(1)+f(2)+\cdots +f(2 023)$的值为 （ ）
A. $-2$ B. $1$ C. $-1$ D. $2$

答案： C

（2）(多选题)已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(x + 2)=-f(x)$，且$f(x)$在$[-1,0]$上单调递增。则下列命题正确的是 （ ）
A. $f(x)$是周期函数
B. $f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称
C. $f(x)$在$[1,2]$上单调递增
D. $f(2)=f(0)$

答案： ABD

【变式训练】（多选题）已知$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的函数，满足$f(x + 1)=f(x - 3)$，$f(1 + x)=f(3 - x)$，当$0\leqslant x\leqslant 2$时，$f(x)=x^{2}-x$，则下列说法正确的是 （ ）
A. $f(x)$的周期为$4$
B. $f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称
C. 当$0\leqslant x\leqslant 4$时，函数$f(x)$的最大值为$2$
D. 当$6\leqslant x\leqslant 8$时，函数$f(x)$的最小值为$-\frac{1}{2}$

答案： ABC

【典例1】设$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且$f(1 + x)=f(1 - x)$，当$-1\leqslant x\leqslant0$时，$f(x)=1 + x$，则$f(8.6)=$ 。

答案： $0.4$【解析】由已知得$f(x)$的图象关于$x = 0$和$x = 1$对称，故$f(x)$的周期为$2$，所以$f(8.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.4$。
【答案】$0.4$